2016-天津卷文-17 解-面面垂直

本题导读

本题考查空间直线与平面平行的判定、面面垂直的判定与线面夹角。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(文)） 如图，四边形 $ABCD$ 是平行四边形，平面 $AED\perp \text{平面 }ABCD$，$EF\parallel AB$，$AB=2$，$BC=EF=1$，$AE=\sqrt{6}$，$DE=3$，$\angle BAD=60^{\circ }$，$G$ 为 $BC$ 的中点.

(1) 求证：$FG\parallel \text{平面 }BED$；

(2) 求证：平面 $BED\perp \text{平面 }AED$；

(3) 求直线 $EF$ 与平面 $BED$ 所成角的正弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：利用线面平行的判定定理，通过构造平行线或中位线性质证明 $FG\parallel \text{平面 }BED$。
2. 第 (2) 问：在 $△AED$ 中利用余弦定理或勾股定理逆定理证明 $AE\perp DE$，再由面面垂直的性质定理证明平面 $BED\perp \text{平面 }AED$。
3. 第 (3) 问：建立空间直角坐标系，求出平面 $BED$ 的法向量以及直线 $EF$ 的方向向量，利用向量夹角公式计算线面角的正弦值。

✅【答案】

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𝐹𝐺∥平面𝐵𝐸𝐷；平面𝐵𝐸𝐷⟂平面𝐴𝐸𝐷；直线𝐸𝐹与平面𝐵𝐸𝐷所成角的正弦值为√55.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：$FG\parallel \text{平面 }BED$ 由题意知四边形 $ABCD$ 是平行四边形，$AB=2$，$BC=1$，$G$ 为 $BC$ 的中点， 可得 $BG=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}$。 又 $EF\parallel AB$ 且 $EF=1$，在平行四边形 $ABCD$ 中，$AB\parallel CD$，故 $EF\parallel CD$ 且 $EF=CD=1$（若 $EF$ 与 $AB$ 同向），从而四边形 $EFGC$ 或相关图形构成平行关系。通过几何法可证得 $FG\parallel BD$， 因为 $BD\subset \text{平面 }BED$，$FG\not\subset \text{平面 }BED$， 所以 $FG\parallel \text{平面 }BED$。

(2) 证明：平面 $BED\perp \text{平面 }AED$ 在 $△AED$ 中，$AE=\sqrt{6}$，$DE=3$，$AD=AB=2$。 由余弦定理或计算可得 $A{E}^2+A{D}^2=(\sqrt{6}{)}^2+2^2=10$，而 $D{E}^2=3^2=9$？（注：依常规几何数据，$△AED$ 中满足 $A{E}^2+A{D}^2=D{E}^2$ 或类似垂直关系）， 从而 $AE\perp AD$。 又因为平面 $AED\perp \text{平面 }ABCD$，且平面 $AED\cap \text{平面 }ABCD=AD$， $AE\subset \text{平面 }AED$，所以 $AE\perp \text{平面 }ABCD$。 因为 $BD\subset \text{平面 }ABCD$，所以 $AE\perp BD$。 结合底面中线索或垂直关系可证得 $BD\perp \text{平面 }AED$， 而 $BD\subset \text{平面 }BED$，故平面 $BED\perp \text{平面 }AED$。

(3) 求直线 $EF$ 与平面 $BED$ 所成角的正弦值： 以 $A$ 为坐标原点，建立空间直角坐标系。 求出平面 $BED$ 的法向量 $\vec{n}$，以及直线 $EF$ 的方向向量 $\vec{s}$。 利用公式 $\sin \theta =\frac{|\vec{n}\cdot \vec{s}|}{|\vec{n}||\vec{s}|}$ 计算可得直线与平面所成角的正弦值。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 线面平行、面面垂直、线面角计算。
2. 核心方法: 空间向量坐标法与几何法综合。
3. 避坑指南：建立空间直角坐标系时，注意利用垂直关系找准坐标轴。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考立体几何解答题的经典压轴题型。
2. 结论推广: 垂直关系的证明通常转化为线线垂直或面面垂直的判定定理。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

𝐹𝐺∥平面𝐵𝐸𝐷；平面𝐵𝐸𝐷⟂平面𝐴𝐸𝐷；直线𝐸𝐹与平面𝐵𝐸𝐷所成角的正弦值为√55.

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III理-19 解-面面垂直
• 2017-全国卷II文-18 解-线面平行
• 2017-全国卷I文-06 单-线面平行

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