2016-天津卷文-18 解-等比数列

本题导读

本题考查等比数列的通项公式与前 $n$ 项和、对数的运算性质与等差中项。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(文)）已知 ${a_{n}}$ 是等比数列，前 $n$ 项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ，且 $\frac{1}{a _{1}} - \frac{1}{a _{2}} = \frac{2}{a _{3}}$ ， $S_{6} = 63$ .

(1) 求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2) 若对任意的 $n \in N^{*}$ ， $b_{n}$ 是 $lo g_{2} a_{n}$ 和 $lo g_{2} a_{n + 1}$ 的等差中项，求数列 ${(- 1)^{n} b_{n}^{2}}$ 的前 $2 n$ 项和.

🔍【思路分析】

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第 (1) 问：设等比数列的首项为 $a_{1}$ ，公比为 $q$ ，将条件 $\frac{1}{a _{1}} - \frac{1}{a _{2}} = \frac{2}{a _{3}}$ 和 $S_{6} = 63$ 转化为关于 $a_{1}$ 和 $q$ 的方程组，求解出 $a_{1}$ 和 $q$ ，进而写出通项公式。

第 (2) 问：根据等差中项定义表示出 $b_{n} = \frac{l o g _{2} a _{n} + l o g _{2} a _{n + 1}}{2}$ ，化简得到 $b_{n}$ 的表达式，再求出数列 ${(- 1)^{n} b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和，通常利用分组求和法。

✅【答案】

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𝑎𝑛=2𝑛−1，𝑏𝑛=𝑛−12；数列{(−1)𝑛𝑏2𝑛}的前2𝑛项和为2𝑛2.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式：设等比数列 ${a_{n}}$ 的首项为 $a_{1}$ ，公比为 $q$ 。由 $\frac{1}{a _{1}} - \frac{1}{a _{2}} = \frac{2}{a _{3}}$ 可得： $\frac{1}{a _{1}} - \frac{1}{a _{1} q} = \frac{2}{a _{1} q ^{2}} ⟹ \frac{q - 1}{a _{1} q} = \frac{2}{a _{1} q ^{2}}$ 。因为 $a_{1} \neq = 0, q \neq = 0$ ，两边同乘以 $a_{1} q^{2}$ 得： $q (q - 1) = 2 ⟹ q^{2} - q - 2 = 0$ 。解得 $q = 2$ 或 $q = - 1$ 。

若 $q = - 1$ ，则 $S_{6} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} + a_{6} = a_{1} - a_{1} + a_{1} - a_{1} + a_{1} - a_{1} = 0$ ，与 $S_{6} = 63$ 矛盾，故舍去 $q = - 1$ 。

从而 $q = 2$ 。由 $S_{6} = \frac{a _{1} ( 1 - 2 ^{6} )}{1 - 2} = a_{1} (2^{6} - 1) = 63 a_{1} = 63$ ，解得 $a_{1} = 1$ 。因此，数列 ${a_{n}}$ 的通项公式为 $a_{n} = 1 \cdot 2^{n - 1} = 2^{n - 1}$ 。

(2) 求数列 ${(- 1)^{n} b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和：由 $a_{n} = 2^{n - 1}$ ，可得 $lo g_{2} a_{n} = lo g_{2} (2^{n - 1}) = n - 1$ 。同理 $lo g_{2} a_{n + 1} = n$ 。因为 $b_{n}$ 是 $lo g_{2} a_{n}$ 和 $lo g_{2} a_{n + 1}$ 的等差中项，所以 $b_{n} = \frac{l o g _{2} a _{n} + l o g _{2} a _{n + 1}}{2} = \frac{( n - 1 ) + n}{2} = n - \frac{1}{2}$ 。设数列 ${(- 1)^{n} b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和为 $T_{2 n}$ ： $T_{2 n} = - b_{1} + b_{2} - b_{3} + b_{4} - \dots - b_{2 n - 1} + b_{2 n}$ $= (- b_{1} + b_{2}) + (- b_{3} + b_{4}) + \dots + (- b_{2 n - 1} + b_{2 n})$ 。观察通项 $(- 1)^{n} b_{n}$ ：当 $k$ 为奇数时， $- b_{k} + b_{k + 1} = - (k - \frac{1}{2}) + ((k + 1) - \frac{1}{2}) = 1$ 。因为总共有 $2 n$ 项，分为 $n$ 组，每组的和均为 1： $T_{2 n} = n 个 1 + 1 + \dots + 1 = n$ 。故数列 ${(- 1)^{n} b_{n}}$ 的前 $2 n$ 项和为 $n$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点: 等比数列基本量、对数运算、等差中项、分组求和。

核心方法: 方程组求解法与奇偶项分组求和法。

避坑指南：解等比数列公比 $q$ 时出现多个值，必须利用前 $n$ 项和 $S_{6} = 63$ 进行严格检验和筛选。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 高考数列解答题的标准压轴题型。

结论推广: 包含 $(- 1)^{n}$ 的交替符号数列求和通常采用两项一组的分组求和法。

🔗【关联脉络】

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