2017-上海卷-15 单-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的定义与性质，以及充分条件与必要条件。

📌【题干】

Question

（2017年上海卷） 已知 $a,b,c$ 为实常数，数列 $\{x_n\}$ 的通项 $x_n=a{n}^2+bn+c,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.则“存在 $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，使得 $x_{100+k},x_{200+k},x_{300+k}$ 成等差数列”的一个必要条件是 ()

A. $a\ge 0$　　　　B. $b\le 0$　　　　C. $c=0$　　　　D. $a-2b+c=0$

🔍【思路分析】

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1. 转化等差关系：根据等差数列性质，三个数 $A,B,C$ 成等差数列的充要条件是 $2B=A+C$。
2. 代入通项公式：将 $x_{100+k},x_{200+k},x_{300+k}$ 分别代入 $x_n=a{n}^2+bn+c$ 中。
3. 建立并化简方程： $2[a(200+k{)}^2+b(200+k)+c]=[a(100+k{)}^2+b(100+k)+c]+[a(300+k{)}^2+b(300+k)+c]$。
4. 得出 $a$ 的值：展开并抵消相同项（如 $k^2$ 项、$k$ 项及常数 $c$），观察 $a$ 的系数。计算后会发现该等式成立的充要条件是 $a=0$。
5. 判断必要条件：若结论 $P$ 成立的充要条件是 $a=0$，那么满足 $a=0$ 范围的任何更大集合都是其必要条件。在选项中寻找包含 $a=0$ 的集合。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 A 【解析过程】 由题意，$x_{100+k},x_{200+k},x_{300+k}$ 成等差数列， 则 $2x_{200+k}=x_{100+k}+x_{300+k}$。 代入通项公式得： $2[a(200+k{)}^2+b(200+k)+c]=a(100+k{)}^2+b(100+k)+c+a(300+k{)}^2+b(300+k)+c$ 化简方程： 左边：$2a(40000+400k+k^2)+2b(200+k)+2c=80000a+800ak+2a{k}^2+400b+2bk+2c$ 右边：$a(10000+200k+k^2)+b(100+k)+c+a(90000+600k+k^2)+b(300+k)+c$ $=100000a+800ak+2a{k}^2+400b+2bk+2c$ 对比两边，消去相同项 $800ak,2a{k}^2,400b,2bk,2c$，得： $80000a=100000a$ 即 $20000a=0$，解得 $a=0$。 这意味着“存在 $k$ 使得三项成等差数列”的充要条件是 $a=0$。 由于 $a=0\Rightarrow a\ge 0$，即 $\{a|a=0\}\subseteq \{a|a\ge 0\}$。 因此 $a\ge 0$ 是其一个必要条件。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 等差中项性质：对于二次型通项 $a{n}^2+bn+c$，只有当 $a=0$（即数列为等差数列）时，等间距抽出的项才能保证成等差数列。如果 $a\ne 0$，二次函数的增长率是不均匀的。
• 必要条件的判定：必要条件范围更“宽”。如果命题成立要求 $a=0$，那么 $a\ge 0$、$a$ 为偶数等都是其必要条件。
• 此类题在化简时可以利用对称性简化。设 $m=200+k,d=100$，则三项下标分别为 $m-d,m,m+d$。代入计算 $a(m-d{)}^2+a(m+d{)}^2-2a{m}^2=2a{d}^2$，该值必须为 0 才能消去 $b,c$ 后的余项，故 $a=0$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若题目改为“充分条件”，则选项应该是 $a=0$ 的子集，例如 $a=0$ 本身。
2. 知识关联：若 $\{x_n\}$ 为等差数列，则其通项必须是关于 $n$ 的一次函数或常数，即二次项系数 $a=0$。本题实际上是在考查等差数列通项的结构特征。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-13 填-等差数列
• 2013-新课标II卷文-17 解-等差数列
• 2014-江西卷文-13 填-等差数列