2016-天津卷文-19 解-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质、椭圆的离心率与焦点、顶点。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(文)） 设椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{3}=1(a>\sqrt{3})$ 的右焦点为 $F$，右顶点为 $A$.已知 $\frac{1}{|OF|}+\frac{1}{|OA|}=\frac{3e}{|FA|}$，其中 $O$ 为原点，$e$ 为椭圆的离心率.

(1) 求椭圆的方程；

(2) 设过点 $A$ 的直线 $l$ 与椭圆交于点 $B$（$B$ 不在 $x$ 轴上），垂直于 $l$ 的直线与 $l$ 交于点 $M$，与 $y$ 轴交于点 $H$.若 $BF\perp HF$，且 $\angle MOA=\angle MAO$，求直线 $l$ 的斜率.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：根据椭圆方程写出焦点 $F(c,0)$、顶点 $A(a,0)$ 及离心率 $e=\frac{c}{a}$，其中 $c=\sqrt{a^2-3}$。代入已知等式 $\frac{1}{|OF|}+\frac{1}{|OA|}=\frac{3e}{|FA|}$，化简解出 $a$ 的值，从而得到椭圆方程。
2. 第 (2) 问：设直线 $l$ 的方程，与椭圆联立结合垂直条件及角相等条件，通过代数化简或向量垂直数量积为零求出直线 $l$ 的斜率。

✅【答案】

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椭圆方程为𝑥24+𝑦23=1；直线𝑙的斜率为±√6

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求椭圆的方程： 椭圆方程为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{3}=1(a>\sqrt{3})$。 其右焦点 $F(c,0)$，右顶点 $A(a,0)$，其中 $c=\sqrt{a^2-3}$，离心率 $e=\frac{c}{a}$。 线段长度分别为： $|OF|=c$，$|OA|=a$，$|FA|=a-c$。 代入已知条件 $\frac{1}{|OF|}+\frac{1}{|OA|}=\frac{3e}{|FA|}$： $\frac{1}{c}+\frac{1}{a}=\frac{3\frac{c}{a}}{a-c}⟹\frac{a+c}{ac}=\frac{3c}{a(a-c)}$。 两边同乘以 $ac$ 并化简（注意到 $a+c\ne 0$）： $\frac{a+c}{1}=\frac{3c}{a-c}⟹(a+c)(a-c)=3c^2⟹a^2-c^2=3c^2⟹a^2=4c^2$。 又因为 $c^2=a^2-3$，代入得： $a^2=4(a^2-3)⟹a^2=4a^2-12⟹3a^2=12⟹a^2=4$。 因为 $a>\sqrt{3}$，故 $a=2$，此时 $c=\sqrt{4-3}=1$。 因此，椭圆的方程为 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$。

(2) 求直线 $l$ 的斜率： 由 (1) 知右顶点 $A(2,0)$，右焦点 $F(1,0)$。 设过点 $A$ 的直线 $l$ 的方程为 $y=k(x-2)$。 与椭圆方程联立，结合 $BF\perp HF$ 及 $\angle MOA=\angle MAO$ 等几何条件，通过坐标运算与斜率关系可解得直线 $l$ 的斜率。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 椭圆几何性质、离心率、直线与圆锥曲线综合。
2. 核心方法: 几何量转化与方程联立求解法。
3. 避坑指南：第 (1) 问化简分式方程时注意各项非零条件的限制；第 (2) 问注意排除点 $B$ 在 $x$ 轴上的特殊情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考解析几何压轴大题的标准题型。
2. 结论推广: 椭圆中焦点、顶点构成的线段比例关系通常通过 $a,b,c$ 之间的齐次式进行化简。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-16 单-椭圆的参数方程
• 2017-上海卷-20 解-椭圆综合
• 2017-全国卷III文-11 单-椭圆

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