2016-天津卷理-07 单-三角

本题导读

本题考查平面向量的线性运算（加法、减法、数乘）、平面向量的数量积（定义、运算律），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(理)） 已知 $△ABC$ 是边长为 $1$ 的等边三角形，点 $D$、$E$ 分别是边 $AB$、$BC$ 的中点，连接 $DE$ 并延长到点 $F$，使得 $DE=2EF$，则 $\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{BC}$ 的值为 ()

A. $-\frac{5}{8}$　　　　　　B. $\frac{1}{8}$　　　　　　C. $\frac{1}{4}$　　　　　　D. $\frac{11}{8}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 选定基底：选取 $\overrightarrow{AB}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ 作为基底，已知 $|\overrightarrow{AB}|=1$，$|\overrightarrow{AC}|=1$，且夹角 $\theta =60^{\circ }$。
2. 表示向量 $\overrightarrow{BC}$：根据向量减法，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$。
3. 表示向量 $\overrightarrow{AF}$：

• 由 $D$ 是 $AB$ 中点知 $\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$。
• 由中位线定理知 $DE\parallel AC$ 且 $DE=\frac{1}{2}AC$，故 $\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$。
• 由 $DE=2EF$ 且 $F$ 在延长线上，得 $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}$。
• 则 $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}$。

4. 数量积计算：将 $\overrightarrow{AF}$ 和 $\overrightarrow{BC}$ 的基底表示代入 $\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{BC}$，利用分配律展开。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 建立基底关系： 设 $\overrightarrow{AB}=\vec{c}$，$\overrightarrow{AC}=\vec{b}$。 则 $|\vec{b}|=1,|\vec{c}|=1$，$\vec{b}\cdot \vec{c}=1\cdot 1\cdot \cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$。

2. 向量线性表示： $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{c}$。 因为 $D,E$ 分别为 $AB,BC$ 中点，所以 $DE$ 是中位线，则 $\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\vec{b}$。 又因为 $DE=2EF$，且 $F$ 在 $DE$ 的延长线上，所以 $\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DE}+\overrightarrow{EF}=\frac{3}{2}\overrightarrow{DE}=\frac{3}{4}\vec{b}$。 故 $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\vec{c}+\frac{3}{4}\vec{b}$。

3. 求数量积： $\overrightarrow{AF}\cdot \overrightarrow{BC}=(\frac{3}{4}\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{c})\cdot (\vec{b}-\vec{c})$ $=\frac{3}{4}{\vec{b}}^2-\frac{3}{4}\vec{b}\cdot \vec{c}+\frac{1}{2}\vec{c}\cdot \vec{b}-\frac{1}{2}{\vec{c}}^2$ $=\frac{3}{4}|\vec{b}{|}^2-\frac{1}{4}\vec{b}\cdot \vec{c}-\frac{1}{2}|\vec{c}{|}^2$ 代入模长和数量积： $=\frac{3}{4}(1{)}^2-\frac{1}{4}(\frac{1}{2})-\frac{1}{2}(1{)}^2$ $=\frac{3}{4}-\frac{1}{8}-\frac{1}{2}$ $=\frac{6}{8}-\frac{1}{8}-\frac{4}{8}=\frac{1}{8}$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 基底法的优越性：在涉及三角形、平行四边形等规则几何图形的向量计算时，选定基底可以将几何问题转化为纯代数运算，避免了复杂的几何构图。

• 中点与比例转换：题目中 $DE=2EF$ 是易错点，需明确 $F$ 的位置关系，从而确定 $\overrightarrow{DF}$ 与 $\overrightarrow{DE}$ 的系数关系。

• 中位线向量特征：牢记 $\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$（起点对起点，终点对终点）是此类题目常见的“隐藏”条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若将“等边三角形”改为“直角三角形”，计算过程会发生什么变化？
  • 提示：基底的数量积 $\vec{b}\cdot \vec{c}$ 将变为 $0$，计算会更加简洁。
• 坐标法尝试：以 $A$ 为原点，$AB$ 所在直线为 $x$ 轴建立坐标系，点 $C$ 坐标为 $(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$。通过点坐标求向量坐标进行计算，也是一种稳健的解法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III文-13 填-向量垂直

专题合集 (Series)