2016-天津卷理-08 单-对数

本题导读

本题考查分段函数的单调性、对数函数与二次函数的性质，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(理)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+(4a-3)x+3a,& x<0\\ {\log }_a(x+1)+1,& x\ge 0\end{array}$ ($a>0$, 且 $a\ne 1$) 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减，且关于 $x$ 的方程 $|f(x)|=2-x$ 恰好有两个不相等的实数解，则 $a$ 的取值范围是 ()

A. $(0,\frac{2}{3}]$　　B. $[\frac{2}{3},\frac{3}{4})$　　C. $[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]\cup \{\frac{3}{4}\}$　　D. $[\frac{1}{3},\frac{2}{3})\cup \{\frac{3}{4}\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 单调性约束：$f(x)$ 全域递减意味着：

• $x\ge 0$ 段：${\log }_a(x+1)+1$ 递减 $⟹0<a<1$。
• $x<0$ 段：二次函数 $x^2+(4a-3)x+3a$ 递减且对称轴应在区间右侧 $⟹-\frac{4a-3}{2}\ge 0⟹a\le \frac{3}{4}$。
• 衔接处：左极限不小于右起点 $⟹f(0^{-})\ge f(0)⟹3a\ge 1⟹a\ge \frac{1}{3}$。 综合得：$\frac{1}{3}\le a\le \frac{3}{4}$。

2. 方程解的分析： 方程即 $|f(x)|=2-x$。

• 在 $[0,+\infty )$ 上，观察 $y=|f(x)|$ 与 $y=2-x$ 的交点。由于 $f(x)$ 递减且 $f(0)=1,f(a^{-1}-1)=0$，该段必然且仅有一个解。
• 故需在 $(-\infty ,0)$ 上方程也恰有一个解。

3. 临界判定：讨论二次函数段与直线 $y=2-x$ 的位置关系，特别是相切的临界情况。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 由单调性确定的 $a$ 范围： 依题意 $\{\begin{array}{l}0<a<1\\ \frac{3-4a}{2}\ge 0\\ 3a\ge {\log }_a(0+1)+1\end{array}⟹\{\begin{array}{l}0<a<1\\ a\le \frac{3}{4}\\ 3a\ge 1\end{array}⟹\frac{1}{3}\le a\le \frac{3}{4}$。

2. 分析 $x\ge 0$ 时的解： 当 $x\ge 0$ 时，$f(x)={\log }_a(x+1)+1$。 $x=0⟹f(0)=1$；当 $x\to +\infty ⟹f(x)\to -\infty$。 在 $[0,+\infty )$ 上，$|f(x)|$ 先减到 0 后再增大。直线 $y=2-x$ 穿过该区域，有且仅有一个交点（例如当 $x=0,y=2>|f(0)|=1$；当 $x=2,y=0<|f(2)|$）。

3. 分析 $x<0$ 时的解： 需满足方程 $|x^2+(4a-3)x+3a|=2-x$ 在 $(-\infty ,0)$ 上恰有一个解。 注意到 $x<0$ 时 $f(x)>0$（由单调性及 $f(0^{-})\ge 1$ 可知），方程简化为 $x^2+(4a-3)x+3a=2-x$。 整理得：$x^2+(4a-2)x+3a-2=0$。

• 情况一：该二次方程在 $x=0$ 处的截距 $3a-2\le 0⟹a\le \frac{2}{3}$。 此时 $f(0^{-})\in [1,2]$，由于开口向上，图象必与 $y=2-x$ 在负半轴有一个交点。符合条件。 结合单调性范围：$a\in [\frac{1}{3},\frac{2}{3}]$。
• 情况二：当 $a>\frac{2}{3}$ 时，截距 $3a-2>0$。此时要恰有一个解，则需直线与抛物线相切。 令 $\Delta =(4a-2{)}^2-4(1)(3a-2)=0$。 $16a^2-16a+4-12a+8=0⟹16a^2-28a+12=0⟹4a^2-7a+3=0$。 解得 $a=1$ (舍) 或 $a=\frac{3}{4}$。 当 $a=\frac{3}{4}$ 时，切点横坐标 $x=-\frac{4a-2}{2}=-0.5<0$，符合。

综上所述，$a$ 的取值范围是 $[\frac{1}{3},\frac{2}{3}]\cup \{\frac{3}{4}\}$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 分段函数递减的三要素：①各段均递减；②定义域衔接无遗漏；③左段终点 $\ge$ 右段起点（防止向上跳变）。
• 方程根的转化：$|f(x)|=g(x)$ 优先考虑画图。如果 $g(x)$ 是变动的直线，利用旋转或平移分析；本题 $g(x)$ 固定，重点在于 $f(x)$ 随参数 $a$ 变化的临界状态（截距过原点或相切）。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若要求方程有三个实数解，则 $a$ 应满足什么条件？
• 提示：需在 $x<0$ 段产生两个解，即 $a>\frac{2}{3}$ 且 $\Delta >0$，同时考虑对称轴位置。
• 常用结论：对于分段递减函数 $f(x)=\{\begin{array}{l}g(x),x<c\\ h(x),x\ge c\end{array}$，必满足 $g(c)\ge h(c)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷II文-08 单-对数函数
• 2017-全国卷I文-09 单-对数函数
• 2017-上海卷-08 填-奇函数

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