2016-天津卷理-15 解-三角恒等

本题导读

本题考查三角恒等变换（诱导公式、两角和与差公式、倍角公式）、辅助角公式。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(理)） 已知函数 $f(x)=4\tan x\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)-\sqrt{3}$.

(1)求 $f(x)$ 的定义域与最小正周期；

(2)讨论 $f(x)$ 在区间 $\left[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}\right]$ 上的单调性.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 化简解析式：

• 利用诱导公式 $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\cos x$。
• 利用正切定义 $\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ 简化前两项。
• 展开 $\cos \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$。
• 利用二倍角公式和辅助角公式将函数统一。

2. 确定性质：

• 根据解析式中 $\tan x$ 确定定义域。
• 根据 $T=\frac{2\pi }{\omega }$ 求周期。
• 将给定区间代入单调增/减的整体范围中进行截取。

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可知：$f(x)$ 在区间 $[-\frac{\pi }{4},-\frac{\pi }{12}]$ 上单调递减；$f(x)$ 在区间 $[-\frac{\pi }{12},\frac{\pi }{4}]$ 上单调递增

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）由解析式可知，$\tan x$ 有意义需满足 $x\ne k\pi +\frac{\pi }{2}$ ($k\in \mathbb{Z}$)。 所以 $f(x)$ 的定义域为 $\{x\mid x\in \mathbb{R},x\ne k\pi +\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\}$。

化简解析式： $f(x)=4\cdot \frac{\sin x}{\cos x}\cdot \cos x\cdot \left(\cos x\cos \frac{\pi }{3}+\sin x\sin \frac{\pi }{3}\right)-\sqrt{3}$ $f(x)=4\sin x\left(\frac{1}{2}\cos x+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x\right)-\sqrt{3}$ $f(x)=2\sin x\cos x+2\sqrt{3}{\sin }^{2}x-\sqrt{3}$ 利用二倍角公式 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 和 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$： $f(x)=\sin 2x+\sqrt{3}(1-\cos 2x)-\sqrt{3}$ $f(x)=\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x$ 利用辅助角公式： $f(x)=2\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$ 所以，最小正周期 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

（2）求 $f(x)$ 的单调区间： 令 $2k\pi -\frac{\pi }{2}\le 2x-\frac{\pi }{3}\le 2k\pi +\frac{\pi }{2}$，解得单调增区间为 $[k\pi -\frac{\pi }{12},k\pi +\frac{5\pi }{12}]$ ($k\in \mathbb{Z}$)。 令 $2k\pi +\frac{\pi }{2}\le 2x-\frac{\pi }{3}\le 2k\pi +\frac{3\pi }{2}$，解得单调减区间为 $[k\pi +\frac{5\pi }{12},k\pi +\frac{11\pi }{12}]$ ($k\in \mathbb{Z}$)。

当 $k=0$ 时，增区间为 $[-\frac{\pi }{12},\frac{5\pi }{12}]$。与 $[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}]$ 取交集得增区间为 $[-\frac{\pi }{12},\frac{\pi }{4}]$。 当 $k=-1$ 时，减区间为 $[-\frac{7\pi }{12},-\frac{\pi }{12}]$。与 $[-\frac{\pi }{4},\frac{\pi }{4}]$ 取交集得减区间为 $[-\frac{\pi }{4},-\frac{\pi }{12}]$。

综上可知： $f(x)$ 在区间 $[-\frac{\pi }{4},-\frac{\pi }{12}]$ 上单调递减； $f(x)$ 在区间 $[-\frac{\pi }{12},\frac{\pi }{4}]$ 上单调递增。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 化简是前提：三角大题的第一步永远是化简。诱导公式应用要准确（奇变偶不变，符号看象限）。

• 定义域易错点：很多同学在化简过程中约掉了 $\cos x$，从而忽略了原始解析式中 $\tan x$ 对 $x$ 的限制。

• 单调性讨论：在闭区间讨论单调性时，一定要先求出通项区间，再通过取 $k$ 值来截取符合题意的子区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若题目要求 $f(x)$ 在区间 $[0,m]$ 上单调递增，求 $m$ 的最大值。

• 提示：需满足 $[0,m]\subseteq [-\frac{\pi }{12},\frac{5\pi }{12}]$，结合 $m>0$ 可得 $m_{max}=\frac{5\pi }{12}$。

• 常用结论：对于 $y=A\sin (\omega x+\phi )$，掌握其对称轴方程（$2x-\frac{\pi }{3}=k\pi +\frac{\pi }{2}$）和对称中心（$2x-\frac{\pi }{3}=k\pi$）也是常考考点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数
• 2017-全国卷II理-14 填-同角三角函数

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