2016-天津卷理-17 解-二面角

本题导读

本题考查空间几何中的线面平行证明、空间向量的应用。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年天津卷(理)） 如图，正方形 $ABCD$ 的中心为 $O$，四边形 $OBEF$ 为矩形，平面 $OBEF\perp$ 平面 $ABCD$，点 $G$ 为 $AB$ 的中点，$AB=BE=2$.

(1)求证：$EG\parallel$ 平面 $ADF$；

(2)求二面角 $O-EF-C$ 的正弦值；

(3)设 $H$ 为线段 $AF$ 上的点，且 $AH=\frac{2}{3}HF$，求直线 $BH$ 和平面 $CEF$ 所成角的正弦值.

🔍【思路分析】

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1. 证明线面平行：通常寻找面内一条直线与面外直线平行。取 $AD$ 中点 $I$，通过证明四边形 $EFIG$ 是平行四边形得到 $EG\parallel FI$。
2. 建立坐标系：由于平面 $OBEF\perp$ 平面 $ABCD$，且 $ABCD$ 是正方形，$O$ 是中心，以 $OC,OD,OF$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系最为便捷。
3. 计算角度：

• 二面角：求出两个平面的法向量，计算其余弦值后转化为正弦值。
• 线面角：求出平面的法向量 $\vec{n}$ 和直线的方向向量 $\overrightarrow{BH}$，利用 $\sin \theta =|\cos ⟨\vec{n},\overrightarrow{BH}⟩|$ 求解。

✅【答案】

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待补

✍【详细解析】

Abstract

解：（1）证明：取 $AD$ 的中点 $I$，连接 $FI$。 在正方形 $ABCD$ 中，$O$ 是中心，$G,I$ 分别是 $AB,AD$ 的中点。 则 $GI\parallel BD$ 且 $GI=\frac{1}{2}BD$。 又在矩形 $OBEF$ 中，$EF\parallel OB$ 且 $EF=OB=\frac{1}{2}BD$。 所以 $EF\parallel GI$ 且 $EF=GI$。 故四边形 $EFIG$ 是平行四边形，得 $EG\parallel FI$。 因为 $EG\not\subset$ 平面 $ADF$，$FI\subset$ 平面 $ADF$， 所以 $EG\parallel$ 平面 $ADF$。

（2）计算二面角：

由题意，以 $O$ 为原点，$OC,OD,OF$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。 则 $O(0,0,0),C(\sqrt{2},0,0),E(0,-\sqrt{2},2),F(0,0,2)$。 $\overrightarrow{CE}=(-\sqrt{2},-\sqrt{2},2),\overrightarrow{FE}=(0,-\sqrt{2},0)$。 设平面 $CEF$ 的法向量为 ${\vec{n}}_1=(x,y,z)$，则有： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{CE}=0\\ {\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{FE}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+2z=0\\ -\sqrt{2}y=0\end{array}$。 取 $z=1$，得 ${\vec{n}}_1=(\sqrt{2},0,1)$。 易知平面 $OEF$ 的法向量为 ${\vec{n}}_2=(1,0,0)$。 设二面角 $O-EF-C$ 的大小为 $\alpha$，则： $|\cos \alpha |=\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1||{\vec{n}}_2|}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}\cdot 1}=\frac{\sqrt{6}}{3}$。 所以 $\sin \alpha =\sqrt{1-(\frac{\sqrt{6}}{3}{)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。

（3）计算线面角： $A(-\sqrt{2},0,0),B(0,-\sqrt{2},0),F(0,0,2)$。 $\overrightarrow{AF}=(\sqrt{2},0,2)$。 由 $AH=\frac{2}{3}HF$ 知 $\overrightarrow{AH}=\frac{2}{5}\overrightarrow{AF}=(\frac{2\sqrt{2}}{5},0,\frac{4}{5})$。 则 $\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AH}=(-\sqrt{2}+\frac{2\sqrt{2}}{5},0,\frac{4}{5})=(-\frac{3\sqrt{2}}{5},0,\frac{4}{5})$。 点 $H(-\frac{3\sqrt{2}}{5},0,\frac{4}{5})$，$\overrightarrow{BH}=(-\frac{3\sqrt{2}}{5},\sqrt{2},\frac{4}{5})$。 设直线 $BH$ 与平面 $CEF$ 所成角为 $\theta$， $\sin \theta =|\cos ⟨\overrightarrow{BH},{\vec{n}}_1⟩|=\frac{|-\frac{3\sqrt{2}}{5}\cdot \sqrt{2}+0+\frac{4}{5}\cdot 1|}{\sqrt{\frac{18}{25}+2+\frac{16}{25}}\cdot \sqrt{3}}=\frac{|-\frac{6}{5}+\frac{4}{5}|}{\frac{2\sqrt{21}}{5}\cdot \sqrt{3}}=\frac{\frac{2}{5}}{\frac{6\sqrt{7}}{5}}=\frac{\sqrt{7}}{21}$。 所以直线 $BH$ 和平面 $CEF$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{21}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 辅助线的技巧：第一问中取中点构造平行四边形是证明线面平行的常用传统几何法。

• 坐标系的选择：在有明显垂直关系的图形中（如本题平面垂直），建立坐标系可以避免复杂的作图寻找二面角的平面角。

• 正余弦转换：注意题目要求的是正弦值还是余弦值。法向量夹角对应的是二面角的余弦值，线面角正弦值对应的是法向量与方向向量夹角的余弦绝对值。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：如果 $H$ 是 $AF$ 的中点，计算过程会简化吗？
  • 提示：向量坐标会变为整数或更简单的根式，但方法一致。
• 常用结论：直线 $l$（方向向量 $\vec{d}$）与平面 $\pi$（法向量 $\vec{n}$）所成角 $\theta$ 满足 $\sin \theta =\frac{|\vec{d}\cdot \vec{n}|}{|\vec{d}||\vec{n}|}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-11 填-正弦函数
• 2017-全国卷III文-13 填-向量垂直
• 2017-全国卷III文-15 填-正弦定理

专题合集 (Series)