2017-上海卷-11 填-正弦函数

本题导读

本题考查正弦函数的有界性，以及三角方程的解。

📌【题干】

Question

（2017年上海卷） 设 ${\alpha }_1,{\alpha }_2\in \mathbb{R}$，且 $\frac{1}{2+\sin {\alpha }_1}+\frac{1}{2+\sin 2{\alpha }_2}=2$，则 $|10\pi -{\alpha }_1-{\alpha }_2|$ 的最小值等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析已知等式的取值范围：

• 因为 $-1\le \sin \alpha \le 1$，所以 $1\le 2+\sin \alpha \le 3$。
• 从而得到分式的范围：$\frac{1}{3}\le \frac{1}{2+\sin \alpha }\le 1$。

2. 确定变量特殊值：

• 两个范围在 $[\frac{1}{3},1]$ 内的数相加等于 2，唯一的可能就是这两个数同时达到最大值 1。
• 由此得出 $\sin {\alpha }_1=-1$ 且 $\sin 2{\alpha }_2=-1$。

3. 求解角解析式：

• 根据正弦函数性质写出 ${\alpha }_1$ 和 $2{\alpha }_2$ 的通项公式（含整数 $k_1,k_2$）。

4. 化简目标式并求最值：

• 将 ${\alpha }_1$ 和 ${\alpha }_2$ 代入 $|10\pi -{\alpha }_1-{\alpha }_2|$，通过调整整数 $k_1,k_2$ 的组合，使得式子尽可能接近 0。

✅【答案】

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$\frac{\pi }{4}$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $\frac{\pi }{4}$ 【解析过程】

1. 确定 $\sin$ 值： 由 $-1\le \sin {\alpha }_1\le 1$ 及 $-1\le \sin 2{\alpha }_2\le 1$ 可知： $1\le 2+\sin {\alpha }_1\le 3\Rightarrow \frac{1}{3}\le \frac{1}{2+\sin {\alpha }_1}\le 1$ $1\le 2+\sin 2{\alpha }_2\le 3\Rightarrow \frac{1}{3}\le \frac{1}{2+\sin 2{\alpha }_2}\le 1$ 要使 $\frac{1}{2+\sin {\alpha }_1}+\frac{1}{2+\sin 2{\alpha }_2}=2$， 当且仅当 $\frac{1}{2+\sin {\alpha }_1}=1$ 且 $\frac{1}{2+\sin 2{\alpha }_2}=1$。 即 $\sin {\alpha }_1=-1$ 且 $\sin 2{\alpha }_2=-1$。

2. 解三角方程： 由 $\sin {\alpha }_1=-1$ 得 ${\alpha }_1=2k_1\pi -\frac{\pi }{2},k_1\in \mathbb{Z}$； 由 $\sin 2{\alpha }_2=-1$ 得 $2{\alpha }_2=2k_2\pi -\frac{\pi }{2}\Rightarrow {\alpha }_2=k_2\pi -\frac{\pi }{4},k_2\in \mathbb{Z}$。

3. 求最小值： $|10\pi -{\alpha }_1-{\alpha }_2|=|10\pi -(2k_1\pi -\frac{\pi }{2})-(k_2\pi -\frac{\pi }{4})|$ $=|10\pi -2k_1\pi +\frac{\pi }{2}-k_2\pi +\frac{\pi }{4}|$ $=|(10-2k_1-k_2)\pi +\frac{3\pi }{4}|$ 令 $m=10-2k_1-k_2$，其中 $m\in \mathbb{Z}$。 目标式变为 $|m\pi +\frac{3\pi }{4}|$。

• 当 $m=-1$ 时，原式 $=|-\pi +\frac{3\pi }{4}|=|-\frac{\pi }{4}|=\frac{\pi }{4}$；
• 当 $m=0$ 时，原式 $=|\frac{3\pi }{4}|=\frac{3\pi }{4}>\frac{\pi }{4}$。 故最小值为 $\frac{\pi }{4}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 有界性的妙用：在遇到“和等于边界值”的方程时，利用函数的取值范围往往能直接锁定变量。
• 周期性的考查：注意 $2{\alpha }_2$ 的系数会改变 ${\alpha }_2$ 的周期，由 $2\pi$ 变为 $\pi$。
• 此类填空题的最后几题通常带有“凑数”性质。识别出两个分式必须都为 1 是破题的关键，剩下的只是对整数 $m$ 的取值尝试。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 1985-上海理-04 填-正弦函数的最小正周期
• 1985-广东文-10 填-正弦函数的最小正周期
• 1985-广东理-07 填-正弦函数的最小正周期