2016-山东卷文-05 单-三视图

本题导读

本题考查三视图还原几何体、组合体体积计算，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(文)） 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为 ()

A. $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\pi$　　　　B. $\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{2}}{3}\pi$　　　　C. $\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{2}}{6}\pi$　　　　D. $1+\frac{\sqrt{2}}{6}\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何体还原：

• 上部：正视图和侧视图上部为半圆，俯视图对应圆，说明上部是一个半球。
• 下部：正视图和侧视图下部为三角形，俯视图为带对角线的正方形，说明下部是一个正四棱锥。

2. 获取数据：

• 正四棱锥：由俯视图知底面正方形边长 $a=1$，由正视图知高 $h=1$。
• 半球：观察俯视图，圆的外切正方形即棱锥底面。圆的直径等于正方形的对角线（图中虚线所示）。

3. 公式计算：

• $V_{\text{棱锥}}=\frac{1}{3}Sh$
• $V_{\text{半球}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{3}\pi R^3=\frac{2}{3}\pi R^3$
• $V_{\text{总}}=V_{\text{棱锥}}+V_{\text{半球}}$

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 下部四棱锥体积： 底面为边长为 1 的正方形，面积 $S=1\times 1=1$。 由正视图可知高 $h=1$。 $V_{\text{下}}=\frac{1}{3}\times 1\times 1=\frac{1}{3}$。

2. 上部半球体积： 由俯视图可知，半球底面圆的直径等于正方形底面的对角线长度。 对角线 $d=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。 则半径 $R=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 $V_{\text{上}}=\frac{2}{3}\pi R^3=\frac{2}{3}\pi \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^3=\frac{2}{3}\pi \cdot \frac{2\sqrt{2}}{8}=\frac{\sqrt{2}}{6}\pi$。

3. 总体积： $V=\frac{1}{3}+\frac{\sqrt{2}}{6}\pi$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 俯视图的陷阱：本题最易错点在于半球半径的确定。必须观察俯视图中圆与正方形的相对位置（圆内接于对角线）。
• 组合体拆分：遇到三视图题目，先根据特征线条将图形拆分为基本几何体，分别计算再加减。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 表面积计算：若要求此组合体的表面积，注意半球的底面与棱锥的底面重合部分不需要计算在内。
• 三视图规律：长对正、高平齐、宽相等，这是还原几何体尺寸的唯一准则。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-04 填-球的体积
• 2017-全国卷III理-08 单-球
• 2017-全国卷II文-06 单-三视图

专题合集 (Series)