2017-全国卷III理-08 单-球

本题导读

本题考查球的性质，以及圆柱的体积公式。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(理)） 已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 ()

A. $\pi$　　　　　　　B. $\frac{3\pi }{4}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 几何关系建模：圆柱内接于球，意味着圆柱的上下底面圆心连线（高）的中点即为球心。
2. 提取截面：作圆柱的轴截面（经过球心和圆柱轴线的平面）。该截面是一个矩形内接于大圆。

• 球的直径 $D=2$，则球半径 $R=1$。
• 圆柱的高 $h=1$。

3. 计算底面半径：在直角三角形中，斜边为球半径 $R$，一条直角边为圆柱高的一半 $\frac{h}{2}$，另一条直角边即为圆柱底面半径 $r$。利用勾股定理：$r^2+(\frac{h}{2}{)}^2=R^2$。
4. 计算体积：代入圆柱体积公式 $V=\pi r^{2}h$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解： 第一步：确定球的基本参数 由题意，球的直径为 2，故球的半径 $R=1$。


第二步：求圆柱底面半径 $r$ 由于圆柱的两个底面圆周都在球面上，根据对称性，球心 $O$ 位于圆柱高的中点。 设圆柱底面半径为 $r$，高为 $h=1$。 连接球心 $O$ 与底面圆周上的一点，构成的直角三角形中：

• 斜边长度为球半径 $R=1$；
• 一条直角边为高的一半 $d=\frac{h}{2}=\frac{1}{2}$；
• 另一条直角边为圆柱底面半径 $r$。 根据勾股定理： $r^2=R^2-{\left(\frac{h}{2}\right)}^2=1^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

第三步：计算圆柱体积 $V=\pi r^{2}h=\pi \times \frac{3}{4}\times 1=\frac{3\pi }{4}$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 轴截面思维：处理球与旋转体（圆柱、圆锥）的组合问题时，作过轴线的截面将空间问题转化为平面几何问题是核心技巧。
• 公式熟练度：圆柱体积 $V=\pi r^{2}h$，注意不要与圆锥（需乘以 $1/3$）或球体体积公式混淆。
• 隐含对称性：内接几何体的中心通常与球心重合。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：求圆柱侧面积 若求该圆柱的侧面积 $S_{\text{侧}}=2\pi rh$。 由 $r=\frac{\sqrt{3}}{2},h=1$ 得 $S_{\text{侧}}=\sqrt{3}\pi$。

2. 极限情况： 若圆柱高 $h$ 趋近于 2（即球的直径），底面半径 $r$ 将趋近于 0，体积趋近于 0； 若圆柱高 $h$ 趋近于 0（变成一个薄圆盘），底面半径 $r$ 趋近于 1，体积也趋近于 0。 本题中 $h=1$ 介于两者之间，计算出的体积具有合理性。

3. 常见组合体模型：

• 球内接正方体：体对角线 = 球直径。
• 球内接长方体：$a^2+b^2+c^2=(2R{)}^2$。
• 球内接圆柱：$(2r{)}^2+h^2=(2R{)}^2$（本题所用）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 1952-全国-10 填-球面积与大圆面积比
• 1953-全国-10 解-球的表面积与体积
• 1958-北京-06 解-球面两点作大圆的个数