2016-山东卷文-08 单-解三角形

本题导读

本题考查余弦定理的应用、三角函数诱导公式与恒等变换，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(文)） $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别是 $a,b,c$，已知 $b=c$，$a^2=2b^2(1-\sin A)$，则 $A=$ ()

A. $\frac{3\pi }{4}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 在 $△ABC$ 中，已知 $b=c$，利用余弦定理将 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=2b^2-2b^2\cos A$ 代入已知条件。
2. 将 $a^2$ 的两种表达式联立，消去 $b^2$ 得到关于角 $A$ 的三角方程。
3. 求解三角方程得出角 $A$ 的具体数值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

在 $△ABC$ 中，因为 $b=c$，根据余弦定理： $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=2b^2-2b^2\cos A=2b^2(1-\cos A)$。 结合题目已知条件： $a^2=2b^2(1-\sin A)$。 因此可得： $2b^2(1-\cos A)=2b^2(1-\sin A)$。 因为 $b>0$，两边同除以 $2b^2$ 得： $1-\cos A=1-\sin A⟹\cos A=\sin A$。 由于在 $△ABC$ 中，$A$ 为三角形内角，$\sin A>0$。两边同除以 $\cos A$（若 $\cos A=0$ 则 $\sin A=0$ 矛盾）： $\tan A=1$。 因为 $A\in (0,\pi )$，所以 $A=\frac{\pi }{4}$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理、同角三角函数关系。
2. 核心方法：等式代换与化简求解法。
3. 避坑指南：求解 $\sin A=\cos A$ 时，切记三角形内角范围限制，$\tan A=1$ 对应的锐角为 $\frac{\pi }{4}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考解三角形中的经典边角互化题。
2. 结论推广：余弦定理是沟通三角形边长与夹角余弦的核心工具。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数
• 2017-全国卷II理-14 填-同角三角函数

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