2016-山东卷文-12 填-三角函数

本题导读

本题考查三角函数诱导公式与和差化积、归纳推理与规律探索，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(文)） 观察下列等式： ${\left(\sin \frac{\pi }{3}\right)}^{-2}+{\left(\sin \frac{2\pi }{3}\right)}^{-2}=\frac{4}{3}\times 1\times 2$; ${\left(\sin \frac{\pi }{5}\right)}^{-2}+{\left(\sin \frac{2\pi }{5}\right)}^{-2}+{\left(\sin \frac{3\pi }{5}\right)}^{-2}+{\left(\sin \frac{4\pi }{5}\right)}^{-2}=\frac{4}{3}\times 2\times 3$; ${\left(\sin \frac{\pi }{7}\right)}^{-2}+{\left(\sin \frac{2\pi }{7}\right)}^{-2}+{\left(\sin \frac{3\pi }{7}\right)}^{-2}+\cdots +{\left(\sin \frac{6\pi }{7}\right)}^{-2}=\frac{4}{3}\times 3\times 4$; ${\left(\sin \frac{\pi }{9}\right)}^{-2}+{\left(\sin \frac{2\pi }{9}\right)}^{-2}+{\left(\sin \frac{3\pi }{9}\right)}^{-2}+\cdots +{\left(\sin \frac{8\pi }{9}\right)}^{-2}=\frac{4}{3}\times 4\times 5$; $\cdots \cdots$ 照此规律，${\left(\sin \frac{\pi }{2n+1}\right)}^{-2}+{\left(\sin \frac{2\pi }{2n+1}\right)}^{-2}+{\left(\sin \frac{3\pi }{2n+1}\right)}^{-2}+\cdots +{\left(\sin \frac{2n\pi }{2n+1}\right)}^{-2}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析已知等式右侧的系数规律：

• 第 1 个式子（分母为 3，即 $2(1)+1$）：右侧为 $\frac{4}{3}\times 1\times 2$；
• 第 2 个式子（分母为 5，即 $2(2)+1$）：右侧为 $\frac{4}{3}\times 2\times 3$；
• 第 3 个式子（分母为 7，即 $2(3)+1$）：右侧为 $\frac{4}{3}\times 3\times 4$；
• 第 4 个式子（分母为 9，即 $2(4)+1$）：右侧为 $\frac{4}{3}\times 4\times 5$。

2. 总结一般规律：当分母为 $2n+1$ 时，右侧连乘式的两个整数因子与 $n$ 对应，分别为 $n$ 和 $n+1$。

✅【答案】

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$\frac{4}{3}n(n+1)$

✍【详细解析】

Abstract

根据前几个等式的变化规律：

• 分母为 $2(1)+1=3$ 时，右侧乘积中的数字为 $1\times 2$；
• 分母为 $2(2)+1=5$ 时，右侧乘积中的数字为 $2\times 3$；
• 分母为 $2(3)+1=7$ 时，右侧乘积中的数字为 $3\times 4$；
• 分母为 $2(4)+1=9$ 时，右侧乘积中的数字为 $4\times 5$。 由此归纳可知，当分母为 $2n+1$ 时，对应的右侧结果为： $\frac{4}{3}\times n\times (n+1)$（或写成 $\frac{4n(n+1)}{3}$）。 故答案为：$\frac{4}{3}n(n+1)$（或 $\frac{4n(n+1)}{3}$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：归纳推理、数字与式子的规律探索。
2. 核心方法：对比归纳法（抓变与不变的量）。
3. 避坑指南：仔细观察分母 $2n+1$ 与右侧两个连乘因子的对应关系，切勿把 $n$ 的倍数搞错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考数学中常见的从特殊到一般的归纳推理题。
2. 结论推广：该类题目通常涉及三角函数的恒等变形与根式求和，通过观察序号与参数的对应关系可直接写出通项。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数
• 2017-全国卷II理-14 填-同角三角函数

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