2016-山东卷文-13 填-向量

本题导读

本题考查平面向量的坐标运算、向量垂直的充要条件（数量积为0），以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(文)） 已知 $\mathbf{a}=(1,-1),\mathbf{b}=(6,-4)$.若 $\mathbf{a}\perp (t\mathbf{a}+\mathbf{b})$，则实数 $t$ 的值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先计算向量 $t\mathbf{a}+\mathbf{b}$ 的坐标。
2. 根据两向量垂直的充要条件：数量积为零（即 $\mathbf{a}\cdot (t\mathbf{a}+\mathbf{b})=0$），列出方程求解 $t$。

✅【答案】

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$-5$

✍【详细解析】

Abstract

已知 $\mathbf{a}=(1,-1),\mathbf{b}=(6,-4)$。 计算向量 $t\mathbf{a}+\mathbf{b}$： $t\mathbf{a}+\mathbf{b}=t(1,-1)+(6,-4)=(t+6,-t-4)$。 因为 $\mathbf{a}\perp (t\mathbf{a}+\mathbf{b})$，所以它们的数量积为零： $\mathbf{a}\cdot (t\mathbf{a}+\mathbf{b})=1\cdot (t+6)+(-1)\cdot (-t-4)=0$ $t+6+t+4=0$ $2t+10=0⟹t=-5$。 故答案为 $-5$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量垂直、数量积坐标运算。
2. 核心方法：坐标代入与一元一次方程求解。
3. 避坑指南：向量垂直的充要条件是数量积 $\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$，切勿与向量平行条件（交叉相乘相等）混淆。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：平面向量基础填空题。
2. 结论推广：若 $\mathbf{a}\perp (t\mathbf{a}+\mathbf{b})$，也可以展开为 $t|\mathbf{a}{|}^2+\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0$ 求解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-13 填-向量垂直
• 2017-全国卷III理-12 单-向量
• 2017-全国卷II文-04 单-向量垂直

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