2016-山东卷文-17 解-三角函数

本题导读

本题考查三角函数的诱导公式与恒等变换、二倍角公式与辅助角公式。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(文)） 设 $f(x)=2\sqrt{3}\sin (\pi -x)\sin x-(\sin x-\cos x{)}^2$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调递增区间；

(2) 把 $y=f(x)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位，得到函数 $y=g(x)$ 的图象，求 $g\left(\frac{\pi }{6}\right)$ 的值.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：先利用诱导公式 $\sin (\pi -x)=\sin x$ 化简第一项，再利用完全平方展开及二倍角公式化简第二项，将 $f(x)$ 化为形如 $A\sin (\omega x+\phi )+k$ 的单一三角函数形式，最后根据正弦函数的单调区间求解。
2. 第 (2) 问：根据函数图象的伸缩与平移变换法则写出 $g(x)$ 的解析式，最后代入 $x=\frac{\pi }{6}$ 计算函数值。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

首先对函数 $f(x)$ 进行化简： 由诱导公式知 $\sin (\pi -x)=\sin x$， 第一项为：$2\sqrt{3}\sin (\pi -x)\sin x=2\sqrt{3}{\sin }^{2}x$。 第二项展开并利用二倍角公式： $-(\sin x-\cos x{)}^2=-({\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x)=-(1-\sin 2x)=\sin 2x-1$。 又因为 $2\sqrt{3}{\sin }^{2}x=\sqrt{3}(1-\cos 2x)=\sqrt{3}-\sqrt{3}\cos 2x$， 所以函数解析式为： $f(x)=\sqrt{3}-\sqrt{3}\cos 2x+\sin 2x-1=\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x+\sqrt{3}-1$。 利用辅助角公式化简前半部分： $\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x=2\left(\frac{1}{2}\sin 2x-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x\right)=2\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$。 因此，函数 $f(x)$ 的化简结果为： $f(x)=2\sin \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)+\sqrt{3}-1$。

(1) 求 $f(x)$ 的单调递增区间： 令 $-\frac{\pi }{2}+2k\pi ⩽2x-\frac{\pi }{3}⩽\frac{\pi }{2}+2k\pi (k\in \mathbb{Z})$， 移项得： $-\frac{\pi }{6}+2k\pi ⩽2x⩽\frac{5\pi }{6}+2k\pi$， 两边同除以 2： $-\frac{\pi }{12}+k\pi ⩽x⩽\frac{5\pi }{12}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$。 故 $f(x)$ 的单调递增区间为 $\left[-\frac{\pi }{12}+k\pi ,\frac{5\pi }{12}+k\pi \right](k\in \mathbb{Z})$。

(2) 求 $g\left(\frac{\pi }{6}\right)$ 的值：

• 将 $y=f(x)$ 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 $2$ 倍（纵坐标不变），得到的函数解析式为： $y=2\sin \left(2\cdot \frac{1}{2}x-\frac{\pi }{3}\right)+\sqrt{3}-1=2\sin \left(x-\frac{\pi }{3}\right)+\sqrt{3}-1$。
• 再把得到的图象向左平移 $\frac{\pi }{3}$ 个单位（即把 $x$ 替换为 $x+\frac{\pi }{3}$），得到函数 $g(x)$ 的解析式： $g(x)=2\sin \left[\left(x+\frac{\pi }{3}\right)-\frac{\pi }{3}\right]+\sqrt{3}-1=2\sin x+\sqrt{3}-1$。 最后计算 $g\left(\frac{\pi }{6}\right)$： $g\left(\frac{\pi }{6}\right)=2\sin \left(\frac{\pi }{6}\right)+\sqrt{3}-1=2\times \frac{1}{2}+\sqrt{3}-1=1+\sqrt{3}-1=\sqrt{3}$。 故 $g\left(\frac{\pi }{6}\right)$ 的值为 $\sqrt{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角恒等变换、正弦型函数的单调区间、图象的平移与伸缩。
2. 核心方法：降幂公式与辅助角公式化一法。
3. 避坑指南：在进行图象平移变换时，“向左平移 $\frac{\pi }{3}$” 是指将自变量 $x$ 替换为 $\left(x+\frac{\pi }{3}\right)$，切勿把加减号弄反。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考三角函数解答题中的经典基础题。
2. 结论推广：形如 $y=a\sin x+b\cos x+c$ 的函数恒可通过辅助角公式转化为 $R\sin (x+\phi )+c$ 的形式研究其性质。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数
• 2017-全国卷II理-14 填-同角三角函数

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