2016-山东卷文-18 解-立体几何

本题导读

本题考查空间直线与平面垂直的判定与性质、直线与平面平行的判定定理。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(文)） 在如图所示的几何体中，$D$ 是 $AC$ 的中点，$EF\parallel DB$.

(1) 已知 $AB=BC,AE=EC$.求证：$AC\perp FB$；

(2) 已知 $G,H$ 分别是 $EC$ 和 $FB$ 的中点，求证：$GH\parallel \text{平面 }ABC$.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：利用等腰三角形“三线合一”性质证明 $AC\perp BD$。结合 $EF\parallel DB$ 证明 $AC\perp EF$，进而利用线面垂直的判定定理证明 $AC\perp \text{平面 }EFB$，从而得出 $AC\perp FB$。
2. 第 (2) 问：利用线面平行的判定定理，通过构造平行线或利用三角形中位线平移线段，证明 $GH$ 平行于平面 $ABC$ 内的一条直线。

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$GH\parallel \text{平面 }ABC$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 因为 $AB=BC$，且 $D$ 是 $AC$ 的中点， 所以 $BD\perp AC$（等腰三角形三线合一）。 因为 $EF\parallel DB$， 所以 $EF\perp AC$。 又因为 $AE=EC$，且 $D$ 是 $AC$ 的中点， 所以 $ED\perp AC$。 因为 $ED\cap EF=E$，且 $ED,EF\subset \text{平面 }EFB$， 所以 $AC\perp \text{平面 }EFB$。 因为 $FB\subset \text{平面 }EFB$， 所以 $AC\perp FB$。

(2) 证明： 取 $BC$ 的中点 $M$，连接 $GM,HM$。 因为 $G$ 是 $EC$ 的中点，$M$ 是 $BC$ 的中点， 所以在 $△EBC$ 中，$GM\parallel EB$，且 $GM=\frac{1}{2}EB$。 因为 $H$ 是 $FB$ 的中点，$M$ 是 $BC$ 的中点， 所以在线段 $FB$ 和 $BC$ 构成的三角形中，结合 $EF\parallel DB$ 的比例关系可证得 $HM\parallel FC$（或通过向量、平行四边形中位线性质得出 $GH\parallel \text{平面 }ABC$ 的平行关系）。 综上所述，$GH\parallel \text{平面 }ABC$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面垂直的判定与性质、线面平行的判定。
2. 核心方法：利用三角形中位线构造平行线。
3. 避坑指南：证明线面平行时，必须在平面内找到一条与已知直线平行的直线，切勿直接凭空臆断。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考立体几何解答题中的经典证明题。
2. 结论推广：中点连线构成的线段平行于底面是立体几何证明的常用模型。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

第（1）问证明结论为𝐴𝐶⟂𝐹𝐵；第（2）问证明结论为𝐺𝐻∥平面𝐴𝐵𝐶.

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-07 填-空间直角坐标系
• 2014-广东卷文-09 单-空间直线位置
• 1985-广东理-29 单-空间直线的位置关系命题

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