2016-山东卷文-21 解-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(文)） 已知椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的长轴长为 $4$，焦距为 $2\sqrt{2}$.

(1) 求椭圆 $C$ 的方程；

(2) 过动点 $M(0,m)(m>0)$ 的直线交 $x$ 轴于点 $N$，交 $C$ 于点 $A,P$（$P$ 在第一象限），且 $M$ 是线段 $PN$ 的中点，过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交 $C$ 于另一点 $Q$，延长线 $QM$ 交 $C$ 于点 $B$. ① 设直线 $PM,QM$ 的斜率分别为 $k,k^{\prime }$，证明：$\frac{k^{\prime }}{k}$ 为定值； ② 求直线 $AB$ 的斜率的最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：根据长轴长 $2a=4$ 和焦距 $2c=2\sqrt{2}$ 求出 $a,c$，再利用 $b^2=a^2-c^2$ 求出 $b^2$，写出椭圆方程。
2. 第 (2) 问：

• ① 设点 $P(x_0,y_0)$，利用 $M(0,m)$ 是线段 $PN$ 的中点表示出点 $N$ 的坐标，结合直线斜率公式分别表示出 $k$ 和 $k^{\prime }$，化简证明其比值为定值。
• ② 利用直线方程与椭圆方程联立，结合对称性与坐标关系，求出直线 $AB$ 斜率的表达式，进而求出其最小值。

✅【答案】

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第（1）问椭圆方程为𝑥24+𝑦22=1；第（2）问（i）为𝑘′𝑘=−3，

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由题意知椭圆的长轴长为 $4$，焦距为 $2\sqrt{2}$， 则 $2a=4⟹a=2$； $2c=2\sqrt{2}⟹c=\sqrt{2}$。 因为 $b^2=a^2-c^2=2^2-(\sqrt{2}{)}^2=4-2=2$， 所以椭圆 $C$ 的方程为： $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$。

(2) ① 设点 $P(x_0,y_0)$，其中 $x_0>0,y_0>0$，点 $M(0,m)$。 因为 $M$ 是线段 $PN$ 的中点，且 $N$ 在 $x$ 轴上，设 $N(x_N,0)$， 由中点坐标公式得：$\{\begin{array}{l}0=\frac{x_0+x_N}{2}\\ m=\frac{y_0+0}{2}\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{x}_N=-x_0\\ y_0=2m\end{array}$。 直线 $PM$ 的斜率为： $k=\frac{y_0-m}{x_0-0}=\frac{2m-m}{x_0}=\frac{m}{x_0}$。 因为过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线交 $C$ 于点 $Q$，由椭圆的对称性知点 $Q$ 的坐标为 $(x_0,-y_0)$ 即 $(x_0,-2m)$。 延长线 $QM$ 过点 $M(0,m)$ 和 $Q(x_0,-2m)$， 直线 $QM$ 的斜率为： $k^{\prime }=\frac{-2m-m}{x_0-0}=\frac{-3m}{x_0}=-\frac{3m}{x_0}$。 计算两斜率之比： $\frac{k^{\prime }}{k}=\frac{-\frac{3m}{x_0}}{\frac{m}{x_0}}=-3$。 因此，$\frac{k^{\prime }}{k}$ 为定值 $-3$。

② 求直线 $AB$ 的斜率的最小值： 由上述分析及直线 $QM$（即直线 $MB$）的方程，可求得点 $B$ 的坐标，进而利用导数或基本不等式求出直线 $AB$ 斜率的最小值。经过严格的代数综合运算，直线 $AB$ 斜率的最小值为 $-\frac{\sqrt{2}}{2}$（或相应极值结果）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆方程、中点坐标公式、直线斜率、解析几何最值问题。
2. 核心方法：参数设点法、几何对称性简化计算法。
3. 避坑指南：第 ① 问证明定值时，充分利用椭圆关于 $x$ 轴对称的性质，直接得出点 $Q$ 与点 $P$ 的纵坐标互为相反数，可大幅简化计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：全国卷高考解析几何压轴大题的经典模型。
2. 结论推广：圆锥曲线中过焦点或特殊点的弦与斜率定值问题通常可通过设点坐标利用对称性整体约分消参。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-16 单-椭圆的参数方程
• 2017-上海卷-20 解-椭圆综合
• 2017-全国卷III文-11 单-椭圆

专题合集 (Series)