2016-山东卷理-07 单-三角恒等

本题导读

本题考查三角恒等变换（辅助角公式）、二倍角公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(理)） 函数 $f(x)=(\sqrt{3}\sin x+\cos x)(\sqrt{3}\cos x-\sin x)$ 的最小正周期是 ()

A. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　B. $\pi$　　　　　　　C. $\frac{3\pi }{2}$　　　　　　　D. $2\pi$

🔍【思路分析】

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1. 观察结构：函数解析式由两个括号相乘组成。每个括号都可以利用辅助角公式 $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\varphi )$ 进行化简。
2. 化简第一项：$\sqrt{3}\sin x+\cos x=2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x)=2\sin (x+\frac{\pi }{6})$。
3. 化简第二项：$\sqrt{3}\cos x-\sin x=2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x)=2\cos (x+\frac{\pi }{6})$。
4. 合并计算：利用二倍角公式 $2\sin \alpha \cos \alpha =\sin 2\alpha$ 合并两项。
5. 求周期：根据 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 得出结论。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 利用辅助角公式化简： $f(x)=(\sqrt{3}\sin x+\cos x)(\sqrt{3}\cos x-\sin x)$ $f(x)=2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x+\frac{1}{2}\cos x)\cdot 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x-\frac{1}{2}\sin x)$ $f(x)=2\sin (x+\frac{\pi }{6})\cdot 2\cos (x+\frac{\pi }{6})$

2. 利用二倍角公式化简： 令 $\alpha =x+\frac{\pi }{6}$，则原式可看作 $2\cdot (2\sin \alpha \cos \alpha )$。 $f(x)=2\sin [2(x+\frac{\pi }{6})]$ $f(x)=2\sin (2x+\frac{\pi }{3})$

3. 确定周期： 该函数属于 $y=A\sin (\omega x+\varphi )$ 形式，其中 $\omega =2$。 最小正周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }=\frac{2\pi }{2}=\pi$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 化简方向：三角函数求性质（周期、单调性、最值）的通用步骤是“化异为同”——将不同角、不同名化为同角、同名的单一三角函数。
• 二倍角变形：除了直接展开相乘（计算量大），利用辅助角公式后出现相同的角（均为 $x+\frac{\pi }{6}$）是本题的巧妙之处。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 另解思路：也可以直接将括号展开： $f(x)=3\sin x\cos x-\sqrt{3}{\sin }^{2}x+\sqrt{3}{\cos }^{2}x-\sin x\cos x$ $f(x)=2\sin x\cos x+\sqrt{3}({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)$ $f(x)=\sin 2x+\sqrt{3}\cos 2x=2\sin (2x+\frac{\pi }{3})$。 这种方法避开了辅助角公式的构造，直接使用二倍角公式，也是极佳的选择。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数
• 2017-全国卷II理-14 填-同角三角函数

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