2016-山东卷理-17 解-二面角

本题导读

本题考查线面平行的判定、二面角的向量求法。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(理)） 在如图所示的圆台中，$AC$ 是下底面圆 $O$ 的直径，$EF$ 是上底面圆 $O^{\prime }$ 的直径，$FB$ 是圆台的一条母线.

(1)已知 $G,H$ 分别为 $EC,FB$ 的中点，求证：$GH\parallel$ 平面 $ABC$；

(2)已知 $EF=FB=\frac{1}{2}AC=2\sqrt{3}$，$AB=BC$，求二面角 $F-BC-A$ 的余弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（线面平行）：

• 寻找中介：直接证明 $GH$ 与平面内某直线平行较难。考虑取 $FC$ 中点 $Q$。
• 构造平面：连接 $GQ,QH$。易证 $GQ\parallel EF,QH\parallel BC$。
• 转化逻辑：证明平面 $GQH\parallel$ 平面 $ABC$，由于 $GH\subset$ 平面 $GQH$，结论自然成立。

2. 第二问（二面角）：

• 建系：由于 $AB=BC$，且 $AC$ 是直径，由勾股定理逆定理知 $OB\perp AC$。以 $O$ 为原点，$OA,OB,O{O}^{\prime }$ 分别为 $x,y,z$ 轴建立空间直角坐标系。
• 求点坐标：利用已知长度计算各顶点坐标。注意求圆台的高 $O{O}^{\prime }$ 需构造直角梯形。
• 向量计算：求出平面 $FBC$ 的法向量 $\vec{n}$。平面 $ABC$ 的法向量可直接取 $\vec{k}=(0,0,1)$。
• 公式求解：使用 $|\cos \theta |=\frac{|\vec{n}\cdot \vec{k}|}{|\vec{n}||\vec{k}|}$。

✅【答案】

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（1）𝐺𝐻∥平面𝐴𝐵𝐶.（2）二面角𝐹−𝐵𝐶−𝐴的余弦值为√77.

✍【详细解析】

Abstract

(1)证明： 取 $FC$ 的中点为 $Q$，连接 $GQ,QH$。 在 $△EFC$ 中，$G,Q$ 分别为 $EC,FC$ 的中点，则 $GQ\parallel \frac{1}{2}EF$。 因为 $EF\parallel$ 平面 $ABC$ 且平行于下底面半径所在的某直线（即 $EF\parallel O^{\prime }{F}^{\prime }$），由对称性知 $GQ\parallel$ 平面 $ABC$。 在 $△FBC$ 中，$H,Q$ 分别为 $FB,FC$ 的中点，则 $QH\parallel \frac{1}{2}BC$。 因为 $BC\subset$ 平面 $ABC$，所以 $QH\parallel$ 平面 $ABC$。 又 $GQ\cap QH=Q$， 所以平面 $GQH\parallel$ 平面 $ABC$。 因为 $GH\subset$ 平面 $GQH$，所以 $GH\parallel$ 平面 $ABC$。

(2)解： 由已知 $AC=4\sqrt{3}$，则下底面半径 $R=2\sqrt{3}$。上底面半径 $r=\frac{1}{2}EF=\sqrt{3}$。 过 $F$ 作 $F{F}^{\prime }\perp$ 下底面于 $F^{\prime }$，在直角梯形 $O{O}^{\prime }F{F}^{\prime }$ 中，$O^{\prime }F=\sqrt{3},O{F}^{\prime }=R=2\sqrt{3}$。 但由于 $FB$ 是母线且 $FB=2\sqrt{3}$，在直角三角形 $F{F}^{\prime }B$ 中，FF^{\prime}^2 + F^{\prime}B^2 = FB^2。 经计算圆台高 $h=O{O}^{\prime }=3$。

以 $O$ 为原点，建立如图所示的坐标系： $A(2\sqrt{3},0,0),C(-2\sqrt{3},0,0),B(0,2\sqrt{3},0),O^{\prime }(0,0,3),F(0,\sqrt{3},3)$。 则 $\overrightarrow{CB}=(2\sqrt{3},2\sqrt{3},0)$，$\overrightarrow{CF}=(2\sqrt{3},\sqrt{3},3)$。 设平面 $FBC$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{CB}=2\sqrt{3}x+2\sqrt{3}y=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{CF}=2\sqrt{3}x+\sqrt{3}y+3z=0\end{array}$ 取 $x=1$，则 $y=-1,z=-\frac{\sqrt{3}}{3}$。即 $\vec{n}=(1,-1,-\frac{\sqrt{3}}{3})$。 平面 $ABC$ 的一个法向量为 $\vec{m}=(0,0,1)$。 $\cos ⟨\vec{n},\vec{m}⟩=\frac{\vec{n}\cdot \vec{m}}{|\vec{n}||\vec{m}|}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{1+1+\frac{1}{3}}\cdot 1}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{\frac{7}{3}}}=-\frac{\sqrt{7}}{7}$。 由图可知二面角为锐角， 所以二面角 $F-BC-A$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 平行证明的“套路”：证明线面平行，若找不到线线平行，通过“中点—面面平行”转化是非常经典的技巧。
• 建系的“节点”：在圆台或圆柱中，利用底面圆的直径和圆心的垂直关系建系是最优选。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 关于母线的理解：母线 $FB$ 的长度限定了圆台的高度。如果 $FB$ 变化，二面角的大小也会随之改变。
• 向量法的优势：相比几何法寻找二面角的平面角，向量法只需准确计算法向量，具有更强的程序化和稳定性。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-13 填-向量垂直
• 2017-全国卷III理-12 单-向量
• 2017-全国卷II文-04 单-向量垂直

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