2016-山东卷理-21 解-几何证明

本题导读

本题考查椭圆与抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年山东卷(理)） 平面直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的离心率是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$，抛物线 $E:x^2=2y$ 的焦点 $F$ 是 $C$ 的一个顶点.

(1)求椭圆 $C$ 的方程；

(2)设 $P$ 是 $E$ 上的动点，且位于第一象限，$E$ 在点 $P$ 处的切线 $l$ 与 $C$ 交于不同的两点 $A,B$，线段 $AB$ 的中点为 $D$，直线 $OD$ 与过 $P$ 且垂直于 $x$ 轴的直线交于点 $M$.

(i) 求证：点 $M$ 在定直线上；

(ii) 直线 $l$ 与 $y$ 轴交于点 $G$，记 $△PFG$ 的面积为 $S_1$，$△PDM$ 的面积为 $S_2$，求 $\frac{S_1}{S_2}$ 的最大值及取得最大值时点 $P$ 的坐标.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（求方程）：利用抛物线焦点坐标求出椭圆的 $b$，再结合离心率公式求出 $a$。
2. 第二问 (i)（证明定直线）：

• 设 $P(x_0,y_0)$，利用导数求出切线 $l$ 的方程。
• 联立切线 $l$ 与椭圆 $C$，利用韦达定理求出中点 $D$ 的坐标。
• 写出直线 $OD$ 方程，令 $x=x_0$ 求出 $M$ 的纵坐标，观察是否为常数。

3. 第二问 (ii)（求最值）：

• 分别表示出 $S_1,S_2$（利用底乘高或坐标公式）。
• 构建 $\frac{S_1}{S_2}$ 关于 $x_0$ 的代数式。
• 采用换元法（如令 $1+2x_0^2=t$），转化为二次函数求最值。

✅【答案】

点击查看答案

（1）椭圆𝐶的方程为𝑥2+4𝑦2=1.（2）（i）点𝑀在定直线𝑦=−14上.（ii）𝑆1

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1)由 $x^2=2y$ 知焦点 $F(0,\frac{1}{2})$。 因为 $F$ 为椭圆顶点，且椭圆焦点在 $x$ 轴上（由 $a>b$ 及常用定义）， 所以 $b=\frac{1}{2}$。 已知 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则 $\frac{a^2-b^2}{a^2}=\frac{3}{4}⟹\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{4}$。 由 $b=\frac{1}{2}$ 得 $a^2=1$。 故椭圆 $C$ 的方程为 $x^2+4y^2=1$。

(2)(i) 证明： 设 $P(x_0,y_0)$，则 $x_0^2=2y_0$。 由 $y=\frac{1}{2}{x}^2$ 得 $y^{\prime }=x$，故切线 $l$ 的斜率 $k=x_0$。 切线 $l$ 的方程为：$y-y_0=x_0(x-x_0)⟹y=x_{0}x-\frac{1}{2}{x}_0^2$。 联立 $\{\begin{array}{l}y=x_{0}x-y_0\\ x^2+4y^2=1\end{array}$ 得 $(1+4x_0^2)x^2-8x_0{y}_{0}x+4y_0^2-1=0$。 设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，则 $x_1+x_2=\frac{8x_0{y}_0}{1+4x_0^2}$。 中点 $D$ 的横坐标 $x_D=\frac{4x_0{y}_0}{1+4x_0^2}$， 纵坐标 $y_D=x_0{x}_D-y_0=\frac{4x_0^2{y}_0-y_0-4x_0^2{y}_0}{1+4x_0^2}=\frac{-y_0}{1+4x_0^2}$。 直线 $OD$ 的方程为 $y=\frac{y_D}{x_D}x=\frac{-1}{4x_0}x$。 点 $M$ 的横坐标为 $x_0$，代入 $OD$ 方程得 $y_M=\frac{-1}{4x_0}\cdot x_0=-\frac{1}{4}$。 所以点 $M$ 在定直线 $y=-\frac{1}{4}$ 上。

(ii) 解： 直线 $l$ 交 $y$ 轴于 $G(0,-y_0)$。$F(0,\frac{1}{2})$。 $S_1=S_{△PFG}=\frac{1}{2}|FG|\cdot x_0=\frac{1}{2}(\frac{1}{2}+y_0)x_0=\frac{1}{4}{x}_0(1+2y_0)=\frac{1}{4}{x}_0(1+x_0^2)$。 $S_2=S_{△PDM}=\frac{1}{2}|PM|\cdot |x_0-x_D|=\frac{1}{2}(y_0+\frac{1}{4})(x_0-\frac{4x_0{y}_0}{1+4x_0^2})=\frac{1}{8}\frac{(1+2y_0)x_0}{1+4x_0^2}=\frac{1}{8}\frac{x_0(1+x_0^2)}{1+2x_0^2}$。 经化简整理得 $\frac{S_1}{S_2}=\frac{2(1+x_0^2)(1+2x_0^2)}{(1+x_0^2)}=2(1+2x_0^2)$？ [修正计算细节]： $|PM|=y_0-(-\frac{1}{4})=\frac{1}{2}{x}_0^2+\frac{1}{4}=\frac{2x_0^2+1}{4}$。 $|x_0-x_D|=|x_0-\frac{4x_0\cdot \frac{1}{2}{x}_0^2}{1+4x_0^2}|=\frac{x_0+4x_0^3-2x_0^3}{1+4x_0^2}=\frac{x_0(1+2x_0^2)}{1+4x_0^2}$。 $S_2=\frac{1}{2}\cdot \frac{2x_0^2+1}{4}\cdot \frac{x_0(1+2x_0^2)}{1+4x_0^2}=\frac{x_0(1+2x_0^2{)}^2}{8(1+4x_0^2)}$。 $\frac{S_1}{S_2}=\frac{\frac{1}{4}{x}_0(1+x_0^2)}{\frac{x_0(1+2x_0^2{)}^2}{8(1+4x_0^2)}}=\frac{2(1+x_0^2)(1+4x_0^2)}{(1+2x_0^2{)}^2}$。 令 $1+2x_0^2=t$ ($t>1$)，则 $x_0^2=\frac{t-1}{2}$。 $\frac{S_1}{S_2}=\frac{2(1+\frac{t-1}{2})(1+2(t-1))}{t^2}=\frac{(t+1)(2t-1)}{t^2}=\frac{2t^2+t-1}{t^2}=2+\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}$。 令 $u=\frac{1}{t}$ ($0<u<1$)，则原式 $=-u^2+u+2=-(u-\frac{1}{2}{)}^2+\frac{9}{4}$。 当 $u=\frac{1}{2}$ 即 $t=2$ 时，比值取得最大值 $\frac{9}{4}$。 此时 $1+2x_0^2=2⟹x_0^2=\frac{1}{2}⟹x_0=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 代入抛物线 $y_0=\frac{1}{2}{x}_0^2=\frac{1}{4}$。 所以 $P$ 点坐标为 $(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{1}{4})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 导数的工具性：在求圆锥曲线切线方程时，导数法比判别式 $\Delta =0$ 更加简洁高效。
• 计算定力：解析几何压轴题的核心门槛在于繁琐的字母运算。维持“设而不求”的意识，并在最后阶段选择合适的代换（换元）是提速的关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广：点 $M$ 在定直线 $y=-1/4$（即抛物线的准线）上，这一性质在抛物线相关性质中具有一定的普遍性。

• 方法迁移：对于面积比值、长度比值等非线性目标函数，转化为单一变量的分式函数并使用配方法或基本不等式是标准流程。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-16 单-椭圆的参数方程
• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-上海卷-20 解-椭圆综合

专题合集 (Series)