2016-江苏卷-08 填-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式、等差数列的前 n 项和公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年江苏卷） 已知 $\{a_n\}$ 是等差数列，$S_n$ 是其前 $n$ 项和.若 $a_1+{a_2}^2=-3$，$S_5=10$，则 $a_9$ 的值是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定基本量：设等差数列的首项为 $a_1$，公差为 $d$。
2. 列方程组：

• 利用 $a_2=a_1+d$ 将第一个条件转化为关于 $a_1$ 和 $d$ 的方程。
• 利用 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$ 将 $S_5=10$ 转化为第二个方程。

3. 求解方程组：从一次方程中解出一个变量代入二次方程。
4. 计算目标值：利用 $a_9=a_1+8d$ 求得结果。

✅【答案】

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20

✍【详细解析】

Abstract

解： 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。 由 $S_5=10$ 得：$5a_1+\frac{5\times 4}{2}d=10$， 化简得：$a_1+2d=2$，即 $a_1=2-2d$ ① 由 $a_1+{a_2}^2=-3$ 得：$a_1+(a_1+d{)}^2=-3$ ② 将 ① 代入 ② 得： $(2-2d)+(2-2d+d{)}^2=-3$ $(2-2d)+(2-d{)}^2=-3$ 展开整理得： $2-2d+4-4d+d^2=-3$ $d^2-6d+9=0$ 解得：$(d-3{)}^2=0⟹d=3$。 代入 ① 得：$a_1=2-2\times 3=-4$。 所以，$a_9=a_1+8d=-4+8\times 3=20$。

故答案为 20

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 基本量法：等差数列的题目，如果看不出巧妙的性质转化，回归 $a_1$ 和 $d$ 建立方程组永远是“保底”且有效的策略。
• 计算细节：本题第一个条件含有平方项，解出 $d$ 之后建议带回 $S_5$ 验算一下 $a_1$ 是否正确，确保万无一失。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 性质运用： 在等差数列中，$S_5=5a_3$。 所以 $5a_3=10⟹a_3=2$。 又 $a_3=a_1+2d=2$，这与解析中化简 $S_5$ 的结果一致，利用等差中项性质可以更快定位中间项。
  • 变式思考： 若解得的 $d$ 为两个不同实根，需注意题目是否有隐含条件限制（如“递增数列”等）。本题中 $(d-3{)}^2=0$ 只有一个根，计算较为单纯。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-15 单-等差数列
• 2017-全国卷III理-09 单-等差数列
• 2017-全国卷II理-15 填-等差数列

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