2016-江苏卷-09 填-三角函数

本题导读

本题考查三角函数的图象与性质、简谐运动的周期，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年江苏卷） 定义在区间 $[0,3\pi ]$ 上的函数 $y=\sin 2x$ 的图象与 $y=\cos x$ 的图象的交点个数是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 数形结合法：

• 函数 $y=\cos x$ 在 $[0,3\pi ]$ 上的周期为 $2\pi$，包含 $1.5$ 个完整波动。
• 函数 $y=\sin 2x$ 的周期为 $T=\frac{2\pi }{2}=\pi$，在 $[0,3\pi ]$ 上包含 3 个完整波动。
• 在同一坐标系中画出两图象，观察并数出交点。

2. 代数求解法：

• 令 $\sin 2x=\cos x$，利用二倍角公式展开得 $2\sin x\cos x=\cos x$。
• 提取公因式：$\cos x(2\sin x-1)=0$。
• 分类讨论：$\cos x=0$ 或 $\sin x=\frac{1}{2}$。
• 在区间 $[0,3\pi ]$ 内寻找所有满足条件的 $x$。

✅【答案】

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7

✍【详细解析】

Abstract

解法一（代数法）： 由题意，令 $\sin 2x=\cos x$。 则 $2\sin x\cos x-\cos x=0$，即 $\cos x(2\sin x-1)=0$。

1. 当 $\cos x=0$ 时： 在 $[0,3\pi ]$ 内，$x$ 的取值为 $\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2}$，共 3 个解。
2. 当 $2\sin x-1=0$，即 $\sin x=\frac{1}{2}$ 时： 在 $[0,2\pi ]$ 内，$x=\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$； 在 $[2\pi ,3\pi ]$ 内，$x=2\pi +\frac{\pi }{6}=\frac{13\pi }{6},2\pi +\frac{5\pi }{6}=\frac{17\pi }{6}$。 共有 4 个解。 综上所述，所有解互不相同，总计 $3+4=7$ 个交点。

解法二（图像法）：

如图所示，在区间 $[0,3\pi ]$ 内：

• $y=\cos x$（粗线）与 $y=\sin 2x$（细线）在第一个周期内有 3 个交点；
• 在第二个周期内有 3 个交点；
• 在剩余的 $[\pi ,3\pi ]$ 部分（半个周期）有 1 个交点（即 $x=\frac{5\pi }{2}$）。 观察得交点总数为 7。

故答案为 7

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 图象的准确性：使用图象法时，一定要注意周期的缩放，$\sin 2x$ 的频率是 $\cos x$ 的两倍。
• 方程的等价转化：代数法中，严禁直接约掉 $\cos x$，因为当 $\cos x=0$ 时约分会导致丢解。
• 区间端点：注意 $3\pi$ 这一端点的取舍，本题为闭区间，需包含所有端点处的解。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：如果区间改为 $(0,3\pi )$，交点个数是否变化？ 答：在本题中，所有的解均不在 $0$ 和 $3\pi$ 处取得（$\cos 0=1,\sin 0=0$；$\cos 3\pi =-1,\sin 6\pi =0$），所以开区间结果依然是 7。
• 规律总结：对于 $y=\sin mx$ 与 $y=\cos nx$ 的交点问题，代数法往往比作图法更不容易漏掉靠得很近的点。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数
• 2017-全国卷II理-14 填-同角三角函数

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