2016-江苏卷-10 填-椭圆

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与几何性质、离心率的计算，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年江苏卷） 如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$F$ 是椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>b>0$) 的右焦点，直线 $y=\frac{b}{2}$ 与椭圆交于 $B,C$ 两点，且 $\angle BFC=90^{\circ }$，则该椭圆的离心率 $e$ 是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设点坐标：设右焦点 $F(c,0)$。
2. 求解交点：将直线方程 $y=\frac{b}{2}$ 代入椭圆方程，解出 $B,C$ 两点的横坐标。根据对称性，设 $B$ 在左侧，$C$ 在右侧。
3. 转化几何条件：$\angle BFC=90^{\circ }$ 意味着直线 $FB$ 与 $FC$ 垂直，即斜率乘积 $k_{FB}\cdot k_{FC}=-1$（或利用向量 $\overrightarrow{FB}\cdot \overrightarrow{FC}=0$）。
4. 建立 $a,b,c$ 关系：将坐标代入斜率公式，整理出含有 $a,b,c$ 的等式。
5. 统一变量求 $e$：利用 $b^2=a^2-c^2$ 消去 $b$，解出 $c$ 与 $a$ 的比例。

✅【答案】

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$\frac{\sqrt{6}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 求 $B,C$ 坐标： 将 $y=\frac{b}{2}$ 代入 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 得： $\frac{x^2}{a^2}+\frac{1}{4}=1⟹\frac{x^2}{a^2}=\frac{3}{4}⟹x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}a$。 故 $B(-\frac{\sqrt{3}}{2}a,\frac{b}{2})$，$C(\frac{\sqrt{3}}{2}a,\frac{b}{2})$。
2. 利用垂直条件： 已知 $F(c,0)$，则： $k_{FB}=\frac{\frac{b}{2}-0}{-\frac{\sqrt{3}}{2}a-c}$，$k_{FC}=\frac{\frac{b}{2}-0}{\frac{\sqrt{3}}{2}a-c}$。 由 $k_{FB}\cdot k_{FC}=-1$ 得： $\frac{\frac{b^2}{4}}{-(\frac{\sqrt{3}}{2}a+c)(\frac{\sqrt{3}}{2}a-c)}=-1⟹\frac{b^2}{4}=(\frac{\sqrt{3}}{2}a{)}^2-c^2$ 整理得：$\frac{b^2}{4}=\frac{3}{4}{a}^2-c^2⟹b^2=3a^2-4c^2$。
3. 求解离心率： 将 $b^2=a^2-c^2$ 代入上式： $a^2-c^2=3a^2-4c^2⟹3c^2=2a^2$。 则 $e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{2}{3}$。 所以离心率 $e=\frac{\sqrt{6}}{3}$。

故答案为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 坐标化思想：解析几何中，将几何角度条件转化为坐标运算（斜率或向量）是最直接的方法。
• 基本量转化：求离心率的目标是得到 $a,b,c$ 的齐次式，牢记 $b^2=a^2-c^2$ 是椭圆题目中最重要的转换桥梁。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 数形结合： 当 $\angle BFC=90^{\circ }$ 时，焦点 $F$ 实际上是在以 $BC$ 为直径的圆上。
  • 变式思考： 如果题目改为双曲线，其他条件不变，只需注意基本量关系变为 $b^2=c^2-a^2$，计算过程类似。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-16 单-椭圆的参数方程
• 2017-上海卷-20 解-椭圆综合
• 2017-全国卷III文-11 单-椭圆

专题合集 (Series)