2016-江苏卷-23 解-排列组合

本题导读

本题考查组合数公式及其性质、数学归纳法。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年江苏卷） (1) 求 $7C_6^3-4C_7^4$ 的值；

(2) 设 $m,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$n\ge m$，求证： $(m+1)C_m^m+(m+2)C_{m+1}^m+(m+3)C_{m+2}^m+\cdots +n{C}_{n-1}^m+(n+1)C_n^m=(m+1)C_{n+2}^{m+2}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：直接应用组合数计算公式 $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$ 进行计算。
2. 第二问：由于式子中含有正整数 $n$，且结构呈现明显的递推求和特征，首选数学归纳法。

• 奠基：验证 $n=m$ 时等式是否成立。
• 假设：假设 $n=k$ 时等式成立。
• 递推：证明 $n=k+1$ 时，左边增加的一项与假设值之和等于目标结果。此过程涉及组合数的阶乘表达与化简。

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对任意 $n\ge m$，等式恒成立

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1) $7C_6^3-4C_7^4=7\times \frac{6\times 5\times 4}{3\times 2\times 1}-4\times \frac{7\times 6\times 5\times 4}{4\times 3\times 2\times 1}$ $=7\times 20-4\times 35=140-140=0$。

(2) 证明：对于任意固定的 $m\in {\mathbb{N}}^{\ast }$： ① 当 $n=m$ 时， 左边 $=(m+1)C_m^m=m+1$。 右边 $=(m+1)C_{m+2}^{m+2}=(m+1)\times 1=m+1$。 左边 $=$ 右边，等式成立。

② 假设 $n=k$ ($k\ge m$) 时命题成立，即： $(m+1)C_m^m+(m+2)C_{m+1}^m+\cdots +(k+1)C_k^m=(m+1)C_{k+2}^{m+2}$。 当 $n=k+1$ 时， 左边 $=[(m+1)C_m^m+(m+2)C_{m+1}^m+\cdots +(k+1)C_k^m]+(k+2)C_{k+1}^m$ 代入归纳假设： 左边 $=(m+1)C_{k+2}^{m+2}+(k+2)C_{k+1}^m$。 我们要证明这等于右边，即证明 $(m+1)C_{k+2}^{m+2}+(k+2)C_{k+1}^m=(m+1)C_{k+3}^{m+2}$。 等价于证明：$(m+1)[C_{k+3}^{m+2}-C_{k+2}^{m+2}]=(k+2)C_{k+1}^m$。 利用组合数性质 $C_{n+1}^k-C_n^k=C_n^{k-1}$： 左边变为：$(m+1)C_{k+2}^{m+1}$ $=(m+1)\times \frac{(k+2)!}{(m+1)!(k-m+1)!}$ $=\frac{(k+2)!}{m!(k-m+1)!}$ $=(k+2)\times \frac{(k+1)!}{m!(k+1-m)!}=(k+2)C_{k+1}^m$。 可见左边 $=$ 右边，故 $n=k+1$ 时命题也成立。 综上，对任意 $n\ge m$，等式恒成立。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 数学归纳法的规范性：必须明确写出奠基、假设、递推及结论四个步骤。
• 组合数技巧：本题化简过程中，利用 $C_{n+1}^k=C_n^k+C_n^{k-1}$ 的逆向变形可以极大简化阶乘运算。
• 阶乘化简：在处理 $\frac{(k+2)!}{(m+1)!}$ 等项时，注意提取公因式和抵消。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 二项式关联：该求和恒等式在研究高阶等差数列求和及二项式系数分布（杨辉三角）时具有重要的理论价值。
• 变式思考：如果将系数 $(n+1)$ 去掉，该式即为著名的“朱世杰恒等式”（或称曲棍球棒恒等式），考生可尝试对比证明。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷II理-06 单-排列组合
• 2017-浙江卷-16 填-排列组合
• 2014-大纲卷文-07 单-组合计数

专题合集 (Series)