2016-浙江卷文-10 填-圆的一般方程

本题导读

本题考查圆的一般方程与标准方程、二元二次方程表示圆的条件，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(文)） 已知 $a\in \mathbb{R}$，方程 $a^2{x}^2+(a+2)y^2+4x+8y+5a=0$ 表示圆，则圆心坐标是$\underline{}$，半径是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 根据二元二次方程表示圆的条件，二次项系数必须相等且不为零，即 $a^2=a+2$。
2. 解方程求出 $a$ 的值，并检验其能否使半径的平方大于 0。
3. 将 $a$ 代入原方程，通过配方法化为圆的标准方程，从而读出圆心坐标与半径。

✅【答案】

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$(-2,-4)$

✍【详细解析】

Abstract

方程 $a^2{x}^2+(a+2)y^2+4x+8y+5a=0$ 表示圆， 必须满足 $x^2$ 和 $y^2$ 的系数相等且不为零： $a^2=a+2⟹a^2-a-2=0⟹(a-2)(a+1)=0$。 解得 $a=2$ 或 $a=-1$。

• 若 $a=-1$，方程变为 $x^2+y^2+4x+8y-5=0$，配方得 $(x+2{)}^2+(y+4{)}^2=25>0$，满足条件。
• 若 $a=2$，方程变为 $4x^2+4y^2+4x+8y+10=0⟹x^2+y^2+x+2y+\frac{5}{2}=0$，配方得 ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+(y+1{)}^2=\frac{1}{4}+1-\frac{5}{2}=-\frac{5}{4}<0$（半径平方小于 0，舍去）。 故 $a=-1$。 此时圆的方程为 $x^2+y^2+4x+8y-5=0⟹(x+2{)}^2+(y+4{)}^2=25$。 圆心坐标为 $(-2,-4)$，半径为 $5$。 故答案为：$(-2,-4)$；$5$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 圆的一般方程、配方法。
2. 核心方法: 系数相等法与半径大于零检验法。
3. 避坑指南：求出参数 $a$ 后务必代入检验半径平方是否大于 0，防止增根导致错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考解析几何中圆的基础填空题。
2. 结论推广: 方程 $A{x}^2+Bxy+C{y}^2+Dx+Ey+F=0$ 表示圆的充要条件是 $A=C\ne 0,B=0,D^2+E^2-4AF>0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

$(-2,-4)，5$

类题演练 (Links)

• 1988-广东文-09 单-圆的一般方程与对称性
• 1988-广东理-07 单-圆的一般方程与对称性
• 1996-全国卷文-11 单-椭圆的一般方程化标准方程

专题合集 (Series)