2010-上海卷理-05 填-圆的一般方程

本题导读

本题考查圆的一般方程化标准方程求圆心，并考查点到直线的距离公式的应用。

📌【题干】

Question

（2010年上海卷(理)） 圆 $C:x^2+y^2-2x-4y+4=0$ 的圆心到直线 $l:3x+4y+4=0$ 的距离 $d=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 将圆的一般方程配方，求出圆心 $C$ 的坐标。
2. 利用点到直线的距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$ 计算距离。

✅【答案】

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$3$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求圆心坐标 将圆 $C$ 的方程配方： $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2-1-4+4=0⟹(x-1{)}^2+(y-2{)}^2=1$

所以圆 $C$ 的圆心坐标为 $C(1,2)$。

第二步：计算圆心到直线的距离 由点到直线的距离公式，圆心 $C(1,2)$ 到直线 $l:3x+4y+4=0$ 的距离为： $d=\frac{|3\times 1+4\times 2+4|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|3+8+4|}{\sqrt{25}}=\frac{15}{5}=3$

故答案为：$3$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的一般方程配方与点到直线的距离公式。
2. 核心方法：配方求圆心 $(1,2)$ $\to$ 代入距离公式 $d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。
3. 避坑指南：配方时常数项移项计算需准确，防止看错圆心坐标。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：直线与圆位置关系的基础计算题。
2. 结论推广：圆 $x^2+y^2+Dx+Ey+F=0$ 的圆心为 $\left(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2}\right)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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类题演练 (Links)

• 2011-四川卷文-03 单-圆的一般方程
• 2016-全国卷II理-04 单-圆的一般方程
• 2016-浙江卷文-10 填-圆的一般方程