2016-浙江卷文-11 填-二倍角公式与

本题导读

本题考查二倍角公式与降幂公式、辅助角公式 $A\sin (\omega x+\phi )+B$，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(文)） 已知 $2{\cos }^{2}x+\sin 2x=A\sin (\omega x+\phi )+B(A>0)$，则 $A=$ $\underline{}$，$B=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用二倍角公式和降幂公式将 $2{\cos }^{2}x$ 与 $\sin 2x$ 转化：$2{\cos }^{2}x=1+\cos 2x$，$\sin 2x=\sin 2x$。
2. 将原式化为 $1+\cos 2x+\sin 2x=\sin 2x+\cos 2x+1$。
3. 利用辅助角公式将 $\sin 2x+\cos 2x$ 化为 $A\sin (2x+\phi )$ 的形式，进而对照求出 $A,\omega ,\phi ,B$。

✅【答案】

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$\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

已知左边式子为： $2{\cos }^{2}x+\sin 2x=1+\cos 2x+\sin 2x=\sin 2x+\cos 2x+1$。 利用辅助角公式化简 $\sin 2x+\cos 2x$： $\sin 2x+\cos 2x=\sqrt{1^2+1^2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)$。 所以原式可化为： $\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi }{4}\right)+1$。 对照右侧标准形式 $A\sin (\omega x+\phi )+B(A>0)$： 可得 $A=\sqrt{2}$，$B=1$（同时 $\omega =2,\phi =\frac{\pi }{4}$）。 故答案为 $\sqrt{2}$；$1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 降幂公式、二倍角公式、辅助角公式。
2. 核心方法: 恒等变形与系数对照法。
3. 避坑指南：辅助角公式中 $A=\sqrt{a^2+b^2}$，注意根号不要漏掉。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考三角函数恒等变换常规题。
2. 结论推广: $a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$ 是化简三角函数的核心方法。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

$\surd 2，1$

类题演练 (Links)

• 2014-上海卷理-01 填-二倍角公式
• 2014-上海卷理-21 解-二倍角公式
• 2014-大纲卷理-16 填-二倍角公式

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