2014-上海卷理-01 填-二倍角公式

本题导读

本题考查三角函数最小正周期的计算。通过余弦二倍角公式的逆向运用，将复合结构化简为标准余弦函数形式，进而提取频率系数 $\omega$ 求解周期。

📌【题干】

Question

（2014年上海卷(理)） 函数 $y=1-2{\cos }^2(2x)$ 的最小正周期是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 观察结构：题目给出的形式 $1-2{\cos }^2\alpha$ 与常用的余弦二倍角公式 $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$ 互为相反数。
2. 恒等变换：利用公式将原函数化简为单一的三角函数形式 $y=-\cos (4x)$。
3. 周期计算：利用正余弦函数周期公式 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$，其中 $\omega$ 为自变量 $x$ 的系数。

✅【答案】

点击查看答案

$\frac{\pi }{2}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：公式化简 已知余弦二倍角公式的一种形式为：

$\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1$ 将原函数 $y=1-2{\cos }^2(2x)$ 提取负号，构建公式结构： $y=-(2{\cos }^2(2x)-1)$ 令 $\theta =2x$，代入上述公式得： $y=-\cos (2\cdot 2x)=-\cos 4x$

第二步：计算周期 对于函数 $y=A\cos (\omega x+\phi )$，其最小正周期计算公式为： $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 在本题化简后的函数 $y=-\cos 4x$ 中，频率系数 $\omega =4$。 故该函数的最小正周期为： $T=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$

故答案为 $\frac{\pi }{2}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二倍角公式的逆用与三角函数的最小正周期计算。

2. 核心方法：逆用 $\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1$ 将函数化为 $y=-\cos 4x$，再由 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 求周期。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 函数的对称性、最值点分布。

2. 结论推广: 若函数形式为 $y=|A\sin (\omega x)|$ 或 $y=A{\sin }^2(\omega x)$，其周期通常会减半，变为 $\frac{\pi }{|\omega |}$。

3. 方法推广: 涉及“二次化一次”的三角题目，降幂公式 $2{\cos }^2\theta =1+\cos 2\theta$ 是最常用的手段。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-06 单-二倍角公式
• 2013-四川卷理-13 填-二倍角公式
• 2013-江西卷理-11 填-倍角公式