2016-浙江卷理-05 单-三角函数

本题导读

本题考查三角函数的周期性、降幂公式，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(理)） 设函数 $f(x)={\sin }^{2}x+b\sin x+c$，则 $f(x)$ 的最小正周期 ()

A. 与 $b$ 有关，且与 $c$ 有关　　　　　B. 与 $b$ 有关，但与 $c$ 无关

C. 与 $b$ 无关，且与 $c$ 无关　　　　　D. 与 $b$ 无关，但与 $c$ 有关

🔍【思路分析】

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1. 分析常数项 $c$：常数项 $c$ 加在函数末尾，在图象上表现为整体沿 $y$ 轴上下平移。这种变换不改变函数在 $x$ 轴方向上的重复跨度，因此周期与 $c$ 无关。
2. 分析 ${\sin }^{2}x$ 的周期：利用降幂公式 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$。该部分的周期由 $\cos 2x$ 决定，其最小正周期为 $\pi$。
3. 分析 $b\sin x$ 的影响：

• 若 $b=0$，则 $f(x)=\frac{1-\cos 2x}{2}+c$，周期为 $\pi$。
• 若 $b\ne 0$，函数中同时含有周期为 $\pi$ 的项和周期为 $2\pi$ 的项。整体周期应为各部分周期的最小公倍数。

4. 结论判定：$b$ 的取值决定了项的构成，从而直接影响最终周期。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 常数项判定： 对于任意函数 $g(x)$，其最小正周期为 $T$，则 $y=g(x)+c$ 的最小正周期仍为 $T$。 故 $f(x)$ 的最小正周期与 $c$ 无关。排除 A、D。

2. 利用公式变形： $f(x)=\frac{1-\cos 2x}{2}+b\sin x+c=-\frac{1}{2}\cos 2x+b\sin x+(\frac{1}{2}+c)$。

• 第一项 $y_1=-\frac{1}{2}\cos 2x$ 的最小正周期 $T_1=\frac{2\pi }{2}=\pi$。
• 第二项 $y_2=b\sin x$ 的最小正周期：

  • 当 $b\ne 0$ 时，$T_2=2\pi$。

  • 当 $b=0$ 时，$y_2=0$，对周期无贡献。

3. 讨论 $b$ 对周期的影响：

• 当 $b=0$ 时，$f(x)$ 的最小正周期为 $\pi$。
• 当 $b\ne 0$ 时，由于 $2\pi$ 是 $\pi$ 的整数倍，且 $\sin x$ 项的出现使得函数在 $[0,\pi ]$ 和 $[\pi ,2\pi ]$ 上的表现不再相同（由于 $\sin (x+\pi )=-\sin x$），最小正周期变为 $2\pi$。 由此可见，$b$ 的值改变了函数的最小正周期。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 周期性的“木桶效应”：当函数由多个周期项相加组成时，若各分项周期分别为 $T_1,T_2$，则总周期通常是 $T_1$ 和 $T_2$ 的最小公倍数。在本题中，$2\pi$ 是 $\pi$ 的倍数，故整体趋向于更长的周期。

• 降幂公式的敏感度：看到 ${\sin }^{2}x$ 或 ${\cos }^{2}x$，应立即反应出其周期是基础三角函数的一半（即 $\pi$）。

• 平移不改周期：不仅是纵向平移（加常数 $c$），横向平移（加初相 $\phi$）也不改变周期。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若 $f(x)=|\sin x|+c$，周期是多少？
  • 提示：绝对值号将负半周期的图象翻折到上方，周期减半，变为 $\pi$。
• 常用结论：
  • $y=\sin \omega x$ 的周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$。
  • $y={\sin }^2\omega x$ 的周期 $T=\frac{\pi }{\omega }$。
  • $y=|\sin \omega x|$ 的周期 $T=\frac{\pi }{\omega }$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数
• 2017-全国卷II理-14 填-同角三角函数

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