2016-浙江卷理-12 填-对数

本题导读

本题考查对数的运算性质（换底公式、倒数关系）、指数幂的运算性质，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年浙江卷(理)） 已知 $a>b>1$，若 ${\log }_{a}b+{\log }_{b}a=\frac{5}{2}$，$a^b=b^a$，则 $a=$ $\underline{}$，$b=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 处理对数等式：利用换底公式 ${\log }_{b}a=\frac{1}{{\log }_{a}b}$，设 $t={\log }_{b}a$，将原式转化为关于 $t$ 的方程。
2. 确定 $t$ 的范围与值：由 $a>b>1$ 可知 $t={\log }_{b}a>1$，从而在两个代数解中排除不符合题意的解。
3. 建立 $a,b$ 关系：由 ${\log }_{b}a=t$ 得到 $a=b^t$。
4. 代入指数等式：将 $a=b^t$ 代入 $a^b=b^a$，利用幂的运算法则化简，求出 $b$ 的具体数值，进而求得 $a$。

✅【答案】

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4；2

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 对数化简与换元： 设 $t={\log }_{b}a$。由对数换底公式可知 ${\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}=\frac{1}{t}$。 原等式 ${\log }_{a}b+{\log }_{b}a=\frac{5}{2}$ 可化为： $\frac{1}{t}+t=\frac{5}{2}$ 去分母得：$2t^2-5t+2=0$。 解得 $t=2$ 或 $t=\frac{1}{2}$。 因为 $a>b>1$，所以 ${\log }_{b}a>{\log }_{b}b=1$，即 $t>1$。 故舍去 $t=\frac{1}{2}$，取 $t=2$。

2. 建立幂次关系： 由 ${\log }_{b}a=2$ 得 $a=b^2$。

3. 联立指数方程求解： 将 $a=b^2$ 代入已知条件 $a^b=b^a$ 中： $(b^2{)}^b=b^{(b^2)}$ $b^{2b}=b^{b^2}$ 由于底数 $b>1$，所以指数相等： $2b=b^2$ 因为 $b>1$，方程两边同时除以 $b$，解得 $b=2$。 将 $b=2$ 代入 $a=b^2$ 得 $a=4$。

故答案为 4；2

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 换元法的灵活性：在处理 ${\log }_{x}y+{\log }_{y}x=k$ 这种结构的题目时，直接换元 $t+\frac{1}{t}=k$ 是标准动作。
• 条件的约束作用：$a>b>1$ 不仅决定了 $t$ 的取值范围，也保证了在化简 $b^{2b}=b^{b^2}$ 时可以直接通过指数相等来破题。
• 指数与对数的互化：熟练掌握 ${\log }_{A}B=C⟺A^C=B$ 是解决此类综合题的基本功。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 变式思考：若将条件改为 $a^b=b^a$ 且 $a,b$ 是正整数，除了 $(4,2)$ 以外，还有其他解吗？
  • 提示：在 $x>e$ 范围内，$y=x^{1/x}$ 是减函数，而在 $(1,e)$ 范围内是增函数。常见的正整数解只有 $(2,4)$ 和 $(4,2)$。
• 函数视角：方程 $x^y=y^x$ 的图形在第一象限由直线 $y=x$ 和一条双曲线形状的曲线组成，本题实质上是求该曲线与对数约束条件的交点。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷II文-08 单-对数函数
• 2017-全国卷I文-09 单-对数函数
• 2017-全国卷I理-11 单-对数运算

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