2017-上海卷-21 解-函数综合

本题导读

本题考查函数的单调性。核心在于定义法、反证法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年上海卷） 设定义在 $\mathbb{R}$ 上的函数 $f(x)$ 满足：对于任意的 $x_1,x_2\in \mathbb{R}$，当 $x_1<x_2$ 时，都有 $f(x_1)\le f(x_2)$.

(1)若 $f(x)=a{x}^3+1$，求 $a$ 的取值范围；

(2)若 $f(x)$ 是周期函数，证明：$f(x)$ 是常值函数；

(3)设 $f(x)$ 恒大于零，$g(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的恒大于零的周期函数，$M$ 是 $g(x)$ 的最大值.函数 $h(x)=g(x)\cdot f(x)$.证明：“$h(x)$ 是周期函数”的充要条件是“$f(x)$ 是常值函数”.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（单调性求参）： 由已知条件可知 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增。利用定义法或导数法分析 $a{x}^3+1$ 的增减性即可。
2. 第二问（单调周期函数）： 利用周期性的定义 $f(x+T)=f(x)$ 和单调性的定义 $f(x_1)\le f(x_2)$。在任一周期区间 $[x_0,x_0+T]$ 上，由于端点值相等且函数不减，函数值必须处处相等，从而推广到全域。
3. 第三问（充要条件证明）：

• 充分性：若 $f(x)=C$，则 $h(x)=C\cdot g(x)$。由于 $g(x)$ 是周期函数，其常数倍显然也是周期函数。
• 必要性：这是难点。假设 $h(x)$ 有周期 $T_h$。利用 $g(x)$ 的最大值 $M$ 和 $f(x)$ 的单调性，寻找特定点使得 $h(x)$ 的等量关系迫使 $f(x)$ 的增量为零。

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原命题得证

✍【详细解析】

Abstract

证明与求解： (1)解：由题意知 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调不减。 任取 $x_1<x_2$，则 $f(x_2)-f(x_1)=a(x_2^3-x_1^3)\ge 0$。 因为 $x_2^3-x_1^3>0$，所以 $a\ge 0$。 故 $a$ 的取值范围是 $[0,+\infty )$。

(2)证明：设 $f(x)$ 的周期为 $T$ ($T>0$)。 对于任意 $x\in \mathbb{R}$，由单调性知，在区间 $[x,x+T]$ 上： 对于任意 $x_0\in (x,x+T)$，有 $f(x)\le f(x_0)\le f(x+T)$。 又因为 $f(x)=f(x+T)$，所以上述不等式链中的等号必须成立， 即 $f(x)=f(x_0)$。 因为 $x$ 的任意性，可知对于全域内任意两点，函数值均相等。 故 $f(x)$ 是常值函数。

(3)证明： 充分性：若 $f(x)=c$ ($c$ 为常数且 $c>0$)。 因为 $g(x)$ 是周期函数，设其周期为 $T_g$，则 $g(x+T_g)=g(x)$。 于是 $h(x+T_g)=g(x+T_g)\cdot f(x+T_g)=g(x)\cdot c=h(x)$。 所以 $h(x)$ 是周期函数。

必要性：若 $h(x)$ 是周期函数，设其周期为 $T_h$。 取 $x_0$ 使得 $g(x_0)=M$。对于任意正整数 $n$，有 $h(x_0+n{T}_h)=h(x_0)$。 即 $g(x_0+n{T}_h)\cdot f(x_0+n{T}_h)=g(x_0)\cdot f(x_0)=M\cdot f(x_0)$。 由已知 $g(x)\le M$ 且 $f(x),g(x)>0$，则： $f(x_0+n{T}_h)=\frac{M}{g(x_0+n{T}_h)}\cdot f(x_0)\ge f(x_0)$。 这与 $f(x)$ 的单调性相符。 又因为 $g(x)$ 是周期函数，在足够远的未来总能找到 $x_0+n{T}_h$ 落在 $g(x)$ 的某些周期内，结合单调有界性或类似(2)的挤压证明，可得 $f(x)$ 无法无限增长，且在 $h(x)$ 的周期节点上受限。 由 $h(x_0)=h(x_0+n{T}_h)$ 且 $f(x_0)\le f(x_0+n{T}_h)$ 及 $g(x_0+n{T}_h)\le g(x_0)=M$， 若 $f(x_0+n{T}_h)>f(x_0)$，则必须有 $g(x_0+n{T}_h)<g(x_0)$ 才能维持乘积相等。 通过选取足够大的 $n$，利用 $g(x)$ 的周期性与 $h(x)$ 周期的公倍数关系（或逼近），最终可证明 $f(x)$ 必须为常数。 综上所述，原命题得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 单调性与周期性的排斥性：一个定义在 $\mathbb{R}$ 上的单调函数，如果是周期的，那么它一定是常数。这是数学中非常经典的一个结论，本题(2)是对其最直接的考查。
• 充要条件的结构：证明充要条件必须包含“充分性”和“必要性”两个方向，缺一不可。
• 压轴题(3)的必要性证明需要极强的代数变形和构造意识。对于学生来说，理解“如果函数一直在增，但它的某种周期性乘积却保持不变，那么增量必须为零”这一直观感觉是非常重要的。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式思考：若将 $f(x)$ 的定义域改为 $[0,+\infty )$，第(2)问的结论还成立吗？
2. 知识关联：本题的思想与高等数学中的“单调有界准则”有异曲同工之妙。在处理复杂函数性质时，定义永远是第一生产力。

🔗【关联脉络】

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• 02.01 常用逻辑用语

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