2023-上海卷-18 解-函数综合

本题导读

本题考查函数的奇偶性。核心在于特值反证法、韦达定理与判别式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2023年上海卷）已知 $a，c\in \mathbb{R}$，函数 $f(x)=\frac{x^2+(3a+1)x+c}{x+a}$．

（1）若 $a=0$，求函数 $f(x)$ 的定义域，并判断是否存在 $c$ 使得 $f(x)$ 是奇函数，说明理由；

（2）若函数过点 $(1,3)$，且函数 $f(x)$ 与 $x$ 轴负半轴有两个不同交点，求此时 $c$ 的值和 $a$ 的取值范围．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第（1）问：将 $a=0$ 代入解析式化为 $f(x)=x+1+\frac{c}{x}$。由分母非零确定定义域。判断奇偶性时，可利用特值反证法，假设其为奇函数则在定义域内必有 $f(1)+f(-1)=0$，代入计算检验是否恒成立。
2. 第（2）问：

• 定常数：代入坐标点 $f(1)=3$ 建立方程，直接求解出常数 $c=1$．
• 变方程：函数与 $x$ 轴负半轴有两个不同交点，等价于分式方程 $\frac{x^2+(3a+1)x+1}{x+a}=0$ 有两个不同的负实数根。
• 根分布：转化为分子二次方程 $x^2+(3a+1)x+1=0$ 有两个不同负根。列出由判别式 $\Delta >0$、两根之和 $x_1+x_2<0$、两根之积 $x_1{x}_2>0$ 组成的不等式组。
• 剔增根（核心易错点）：分式方程隐含分母不为零的约束，分子的两根均不能等于 $-a$。将 $x=-a$ 代入分子方程，求出使分母为零的特殊 $a$ 值并从可行域中剔除。

✅【答案】

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(1) 定义域为 $\{x\mid x\ne 0\}$

不存在实数 $c$ 使 $f(x)$ 为奇函数

(2) $c=1$，$a$ 的取值范围为 $\left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2},+\infty \right)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求定义域并判断奇偶性

当 $a=0$ 时，函数解析式为： $f(x)=\frac{x^2+x+c}{x}=x+1+\frac{c}{x}$ 要使函数有意义，需满足分母 $x\ne 0$。 故函数 $f(x)$ 的定义域为 $\{x\mid x\ne 0\}$。

不存在实数 $c$ 使得 $f(x)$ 是奇函数。理由如下： 采用反证法。假设存在某个实数 $c$ 使得 $f(x)$ 是奇函数。 因为 $1$ 和 $-1$ 均在定义域 $\{x\mid x\ne 0\}$ 内，根据奇函数的定义，必然满足： $f(1)+f(-1)=0$

将 $x=1$ 和 $x=-1$ 分别代入解析式中计算： $f(1)=1+1+\frac{c}{1}=c+2$ $f(-1)=-1+1+\frac{c}{-1}=-c$

相加化简得： $f(1)+f(-1)=(c+2)+(-c)=2$ 显然 $2\ne 0$，这与奇函数推导出的等式 $f(1)+f(-1)=0$ 发生绝对矛盾。 故假设不成立，即不存在实数 $c$ 使得 $f(x)$ 是奇函数。

（2）求 $c$ 的值及 $a$ 的取值范围

因为函数 $f(x)$ 的图象过点 $(1,3)$，所以 $f(1)=3$。 代入原解析式得： $\frac{1^2+(3a+1)\cdot 1+c}{1+a}=3⟹\frac{3a+c+2}{a+1}=3$

去分母展开方程： $3a+c+2=3(a+1)⟹3a+c+2=3a+3⟹c=1$

此时，函数的解析式为： $f(x)=\frac{x^2+(3a+1)x+1}{x+a}$

根据题意，函数 $f(x)$ 与 $x$ 轴负半轴有两个不同交点，即分式方程： $\frac{x^2+(3a+1)x+1}{x+a}=0$ 有两个不相等的负实数根．

这等价于关于 $x$ 的一元二次方程 $x^2+(3a+1)x+1=0$ 有两个不相等的负实数根，且这两个根均不等于使分母为零的零点 $-a$。 设分子函数为 $g(x)=x^2+(3a+1)x+1$，其两根为 $x_1,x_2$。根据二次方程根的分布规律，需满足： $\{\begin{array}{ll}\Delta =(3a+1{)}^2-4>0& \text{(1)（有两个不相等的实根）}\\ x_1+x_2=-(3a+1)<0& \text{(2)（两根之和为负）}\\ x_1{x}_2=1>0& \text{(3)（两根同号，结合(2)即为两负根）}\end{array}$

解不等式①得： $(3a+1{)}^2>4⟹3a+1>2\text{ 或 }3a+1<-2⟹a>\frac{1}{3}\text{ 或 }a<-1$ 解不等式②得： $-(3a+1)<0⟹3a+1>0⟹a>-\frac{1}{3}$ 不等式③为 $1>0$，恒成立。

取上述条件的交集，得到满足二次方程具有两个不同负根的初步参数范围为： $a>\frac{1}{3}$

关键排雷：剔除导致分母为零的增根 方程的两个负根均不能等于 $-a$。若其中一个根恰好为 $-a$，则点 $-a$ 必须满足分子方程 $g(-a)=0$： $(-a{)}^2+(3a+1)(-a)+1=0$ $a^2-3a^2-a+1=0⟹-2a^2-a+1=0⟹2a^2+a-1=0$

因式分解此二次方程： $(2a-1)(a+1)=0⟹a=\frac{1}{2}\text{ 或 }a=-1$

这意味着，当 $a=\frac{1}{2}$ 时，分子方程会产生一个根为 $-\frac{1}{2}$，此时分母 $-a=-\frac{1}{2}$ 也恰好为 0，导致该点成为分式方程的增根，图象在此处产生无意义孔洞，交点不存在。

因此，必须在初步范围 $a>\frac{1}{3}$ 中剔除掉 $a=\frac{1}{2}$（$a=-1$ 已在区间外，无需重复处理）。

综上所述，实数 $a$ 的取值范围是 $a>\frac{1}{3}$ 且 $a\ne \frac{1}{2}$。 用区间形式表示为：$\left(\frac{1}{3},\frac{1}{2}\right)\cup \left(\frac{1}{2},+\infty \right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分式函数基本域的界定、利用局部特值法证明函数非奇非偶性、韦达定理对二次根符号的夹逼控制。
2. 核心方法：特值反证法、判别式与韦达定理联立法。
3. 避坑指南：

• 遗漏增根判定导致全盘皆输：本题最容易拉开档次的技术陷阱在 $a\ne \frac{1}{2}$。由于分式方程 $\frac{A(x)}{B(x)}=0$ 的充要条件是 $A(x)=0$ 且 $B(x)\ne 0$，绝大多数学生往往只关注分子方程的负根分布，忽略了分母非零的限制，从而扩大了可行域。
• 奇偶性证明复杂化：第一问中，用奇偶性代数定义 $f(x)+f(-x)=0$ 对任意 $x$ 恒成立去反推 $c$ 容易出现书写冗长。采用特定值（如 $x=1$）代入，通过数值矛盾实施证伪，能够大幅优化解答逻辑。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题的解析几何背景是斜渐近线为直线 $y=x+2a+1$、渐近线交点为 $(-a,a+1)$ 的双曲线变形。当分子的判别式 $\Delta >0$ 时，该分式函数经过多项式除法可化为 $f(x)=x+2a+1+\frac{A}{x+a}$。 第二问探讨函数与 $x$ 轴负半轴的交点，在几何层面上实质是研究双曲线的左支（或部分分支）与坐标轴的相交形态。通过代数方程的形式进行限制，避免了直接绘制双曲线图象的繁琐性，属于高等数学中有理分式函数性质在初等数学阶段的化归考查。

2. 结论推广： 将本题的二阶多项式分式模型一般化：设有理分式函数 $F(x)=\frac{x^2+kx+c}{x+a}$ 满足定义域为 $\{x\in \mathbb{R}\mid x\ne -a\}$。 若要求函数 $F(x)$ 的图象与 $x$ 轴的负半轴恰有两个不同的交点，其对应的代数充要条件可推广并精确化表述为以下不等式组： $\{\begin{array}{l}\Delta =k^2-4c>0\\ k>0\\ c>0\\ a^2-ka+c\ne 0\end{array}$ 其中，$a^2-ka+c\ne 0$ 是确基础式方程不产生增根的通用判别式（即 $-a$ 不是分子的零点）。此推广结论可用于直接解析此类分式函数零点分布问题的参数边界。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-辽宁卷理-16 填-柯西不等式
• 1989-全国卷理-22 解-对数方程有解条件
• 1989-全国卷理-24 解-周期函数与根分布