2017-全国卷I文-07 单-线性规划

本题导读

考查线性规划求目标函数最大值的问题，通过数形结合在可行域内寻找顶点求解。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(文)） 设 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+3y⩽3,\\ x-y⩾1,\\ y⩾0,\end{array}$ 则 $z=x+y$ 的最大值为 ()

A. 0　　　　　　　B. 1　　　　　　　C. 2　　　　　　　D. 3

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据不等式组画出对应的平面可行域。
2. 将目标函数 $z=x+y$ 转化为斜截式，平移直线在可行域的顶点处取得最值。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

作出不等式组表示的可行域： 边界直线分别为 $x+3y=3$，$x-y=1$，$y=0$。 联立边界求交点： 直线 $x-y=1$ 与 $y=0$ 的交点为 $(1,0)$； 直线 $x+3y=3$ 与 $y=0$ 的交点为 $(3,0)$； 联立 $x+3y=3$ 与 $x-y=1$：两式相减得 $4y=2⟹y=\frac{1}{2}$，代入得 $x=\frac{3}{2}$，即交点为 $\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$。 将三个顶点坐标代入目标函数 $z=x+y$： 在点 $(1,0)$ 处：$z=1+0=1$； 在点 $(3,0)$ 处：$z=3+0=3$； 在点 $\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2}\right)$ 处：$z=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=2$。 故最大值为 3。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线性规划最优解。
2. 核心方法：角点检验法。
3. 避坑指南：准确画出可行域并求出所有边界交点，防止代错顶点。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考线性规划常规题。
2. 结论推广: 目标函数的最值通常在可行域的顶点处取得。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-02 单-线性规划
• 2009-山东卷文-16 填-线性规划
• 2011-大纲卷文-04 单-线性规划