2009-天津卷文-02 单-线性规划

本题导读

考查线性规划。可行域三角形顶点 $(1,2)$、$(2,1)$、$(4,5)$，$z=2x+3y$ 在 $(2,1)$ 取最小 $7$。

📌【题干】

Question

（2009年天津卷(文)） 设变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y⩾3,\\ x-y⩾-1,\\ 2x-y⩽3,\end{array}$ 则目标函数 $z=2x+3y$ 的最小值为 ()

A. $6$　　　　　　　B. $7$　　　　　　　C. $8$　　　　　　　D. $23$

🔍【思路分析】

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1. 三条边界两两相交：$x+y=3$ 与 $x-y=-1$ 交 $(1,2)$；$x+y=3$ 与 $2x-y=3$ 交 $(2,1)$；$x-y=-1$ 与 $2x-y=3$ 交 $(4,5)$。
2. $z$ 在顶点处取值：$8$、$7$、$23$，最小 $7$。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

可行域是以 $(1,2)$、$(2,1)$、$(4,5)$ 为顶点的三角形（含边界）。 直线 $2x+3y=z$ 沿其法向量方向平移时 $z$ 增大，最小值在可行域”最左下”的顶点处取得。 逐顶点计算：$z(1,2)=8$，$z(2,1)=7$，$z(4,5)=23$，故最小值为 $7$，选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划可行域与目标函数最值

核心方法：画可行域 + 顶点代入比较

避坑指南：目标函数系数不同时，$z=2x+3y$ 的”最优顶点”与 $z=x+y$ 可能不同，必须逐顶点代入，别凭图形直觉。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划是文数高频小题。

结论推广：三条约束两两求交得三个顶点，目标函数在最”好”的顶点取最值。

方法推广：可行域顶点 $(2,1)$ 虽然离原点近，但 $x$ 的系数大，恰好使 $z$ 最小，说明”靠近原点”不是普适判据。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

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