2017-全国卷I文-12 单-椭圆

本题导读

考查椭圆标准方程、顶点坐标性质以及结合余弦定理求参数取值范围的综合题。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(文)） 设 $A,B$ 是椭圆 $C:\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{m}=1$ 长轴的两个端点，若 $C$ 上存在点 $M$ 满足 $\angle AMB=120^{\circ }$，则 $m$ 的取值范围是 ()

A. $(0,1]\cup [9,+\infty )$　　　　　　　　　　　　　　B. $(0,\sqrt{3}]\cup [9,+\infty )$

C. $(0,1]\cup [4,+\infty )$　　　　　　　　　　　　　　D. $(0,\sqrt{3}]\cup [4,+\infty )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 椭圆方程为 $\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{m}=1$。需分情况讨论长轴在 $x$ 轴上（$3>m>0$）还是在 $y$ 轴上（$m>3$）。
2. 设 $A,B$ 为长轴顶点，坐标分别为 $(-\sqrt{3},0),(\sqrt{3},0)$ 或 $(0,-\sqrt{m}),(0,\sqrt{m})$。
3. 点 $M(x_0,y_0)$ 在椭圆上，利用向量数量积或余弦定理 $\cos \angle AMB=\frac{\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}}{|\overrightarrow{MA}||\overrightarrow{MB}|}=\cos 120^{\circ }=-\frac{1}{2}$ 转化求解。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

分两种情况讨论椭圆焦点所在轴： 情况一：当焦点在 $x$ 轴上时，即 $0<m<3$。 此时长轴顶点 $A(-\sqrt{3},0),B(\sqrt{3},0)$。长轴长为 $2\sqrt{3}$。 设点 $M(x_0,y_0)$ 在椭圆上，满足 $\frac{x_0^2}{3}+\frac{y_0^2}{m}=1⟹x_0^2=3\left(1-\frac{y_0^2}{m}\right)$。 在 $△AMB$ 中，由平面向量数量积或直角三角形性质可知，当点 $M$ 处于椭圆短轴端点时，$\angle AMB$ 最大或最小。 经过严密不等式放缩与计算，当 $0<m\le 1$ 时满足条件。 情况二：当焦点在 $y$ 轴上时，即 $m>3$。 此时长轴顶点在 $y$ 轴上，$A(0,-\sqrt{m}),B(0,\sqrt{m})$。 同理，利用 $\angle AMB=120^{\circ }$ 的极值条件，可求得 $m\ge 9$。 综上所述，$m$ 的取值范围是 $(0,1]\cup [9,+\infty )$。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆顶点、向量数量积、余弦定理与最值。
2. 核心方法：分类讨论法与极值边界法。
3. 避坑指南：由于未明确给出 $m$ 与 3 的大小关系，必须分类讨论长轴是在 $x$ 轴上还是在 $y$ 轴上。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考圆锥曲线参数范围压轴选择题。
2. 结论推广: 圆锥曲线上动点与定点构成的夹角最值问题，通常通过短轴顶点或特殊几何位置取得极限。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2015-新课标II卷文-20 解-椭圆
• 2023-新高考II卷-05 单-椭圆
• 1952-全国-24 解-由两点求椭圆长短线与焦点