2017-全国卷I文-14 填-导数的几何意义

本题导读

考查导数的几何意义以及利用导数求曲线在指定点处的切线方程。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(文)） 曲线 $y=x^2+\frac{1}{x}$ 在点 $(1,2)$ 处的切线方程为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 验证切点 $(1,2)$ 是否在曲线上（$1^2+\frac{1}{1}=2$，满足）。
2. 对函数求导，得到导函数 $y^{\prime }$。
3. 将 $x=1$ 代入导函数求出切线斜率 $k$。
4. 利用点斜式写出切线方程并化简。

✅【答案】

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$x-y+1=0$ （或 $y=x+1$）

✍【详细解析】

Abstract

设函数 $f(x)=x^2+\frac{1}{x}=x^2+x^{-1}$。 求导得： $f^{\prime }(x)=2x-x^{-2}=2x-\frac{1}{x^2}$。 在点 $(1,2)$ 处的切线斜率： $k=f^{\prime }(1)=2(1)-\frac{1}{1^2}=2-1=1$。 根据点斜式，切线方程为： $y-2=1(x-1)$， 化简得：$y=x+1$（或写成 $x-y+1=0$）。 故答案为：$x-y+1=0$ （或 $y=x+1$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数几何意义、切线方程。
2. 核心方法：求导求斜率、点斜式。
3. 避坑指南：求导时注意 $\frac{1}{x}$ 的导数为 $-\frac{1}{x^2}$，切勿求错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考导数几何意义常规填空题。
2. 结论推广: 曲线在某点处的切线斜率即为该点处的导数值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

• 2023-甲卷文-08 单-导数的几何意义
• 2024-新高考I卷-13 填-导数的几何意义
• 2024-甲卷文-07 单-导数的几何意义