2017-全国卷I文-19 解-相关系数

本题导读

考查统计学中相关系数的计算、生产过程稳定性判断、标准差界限异常值判定以及剔除离群值后重新计算均值与标准差的能力。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(文)） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔 $30\text{ min}$ 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：$\text{cm}$）. 下面是检验员在一天内依次抽取的 16 个零件的尺寸：

抽取次序 $i$	1	2	3	4	5	6	7	8
零件尺寸 $x_i$	9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04

抽取次序 $i$	9	10	11	12	13	14	15	16
零件尺寸 $x_i$	10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

经计算得： $\bar{x}=\frac{1}{16}{\sum }_{i=1}^{16}{x}_i=9.97$，$s=\sqrt{\frac{1}{16}{\sum }_{i=1}^{16}(x_i-\bar{x}{)}^2}=\sqrt{\frac{1}{16}\left({\sum }_{i=1}^{16}{x}_i^2-16{\bar{x}}^2\right)}\approx 0.212$，$\sqrt{{\sum }_{i=1}^{16}(i-8.5{)}^2}\approx 18.439$，${\sum }_{i=1}^{16}(x_i-\bar{x})(i-8.5)=-2.78$，其中 $x_i$ 为抽取的第 $i$ 个零件的尺寸，$i=1,2,\cdots ,16$.

(1) 求 $(x_i,i)$ ($i=1,2,\cdots ,16$) 的相关系数 $r$，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小；（若 $|r|<0.25$，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）

(2) 一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 $(\bar{x}-3s,\bar{x}+3s)$之外的零件，就认为这条生产线在那一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查. ① 从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ ② 在 $(\bar{x}-3s,\bar{x}+3s)$之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差.（精确到 $0.01$）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第(1)问：将题目给出的统计中间数据代入相关系数公式 $r=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2}}$（其中 $y_i=i$），计算出 $r$ 并与 $0.25$ 比较。
2. 第(2)问①：计算区间 $(\bar{x}-3s,\bar{x}+3s)$，检查 16 个数据中是否有超出该范围的离群值。
3. 第(2)问②：剔除离群值后，利用剩余的数据重新计算样本均值和标准差。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $r\approx -0.044$，因 $|r|<0.25$，可以认为尺寸不随生产过程系统地变大或变小

(2) ① 需要检查

② 均值 $10.02$，标准差 $0.09$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设抽取次序为 $y_i=i$ ($i=1,2,\cdots ,16$)，则 $\bar{y}=\frac{1+16}{2}=8.5$。 根据相关系数公式： $r=\frac{{\sum }_{i=1}^{16}(x_i-\bar{x})(i-\bar{y})}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^{16}(x_i-\bar{x}{)}^2}\sqrt{{\sum }_{i=1}^{16}(i-\bar{y}{)}^2}}$ 已知 ${\sum }_{i=1}^{16}(x_i-\bar{x})(i-8.5)=-2.78$， $\sqrt{{\sum }_{i=1}^{16}(x_i-\bar{x}{)}^2}=\sqrt{16s^2}=16s\approx 16\times 0.212=3.392$， $\sqrt{{\sum }_{i=1}^{16}(i-8.5{)}^2}\approx 18.439$， 代入得： $r=\frac{-2.78}{3.392\times 18.439}\approx \frac{-2.78}{62.546}\approx -0.044$. 因为 $|r|=|-0.044|=0.044<0.25$， 所以可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小。

(2) ① 计算区间 $(\bar{x}-3s,\bar{x}+3s)$： 因为 $\bar{x}=9.97$，$s\approx 0.212$， 所以 $3s\approx 3\times 0.212=0.636$， $\bar{x}-3s=9.97-0.636=9.334$， $\bar{x}+3s=9.97+0.636=10.606$. 观察 16 个零件尺寸，最小值为 $9.22$（第 13 个零件），它小于 $9.334$；其余数据均在 $(9.334,10.606)$ 内。 因此，第 13 个零件的尺寸 $9.22$ 在 $(\bar{x}-3s,\bar{x}+3s)$ 之外，故需对当天的生产过程进行检查。

② 剔除离群值 $9.22$ 后，剩余 15 个零件尺寸： 总和 ${\sum }_{i=1}^{15}{x}_i^{\prime }=16\bar{x}-9.22=16\times 9.97-9.22=159.52-9.22=150.30$. 重新估计均值 ${\bar{x}}^{\prime }=\frac{150.30}{15}=10.02$. 重新估计方差及标准差： 利用原数据平方和减去离群值的平方： ${\sum }_{i=1}^{16}{x}_i^2=16(s^2+{\bar{x}}^2)=16\times (0.212^2+9.97^2)\approx 1591.13$， 剔除 $9.22^2=85.01$ 后，剩余 15 个数据的平方和为 $1591.13-85.01=1506.12$. 新标准差 $s^{\prime }=\sqrt{\frac{1}{15}\sum (x_i^{\prime }{)}^2-({\bar{x}}^{\prime }{)}^2}\approx \sqrt{\frac{1506.12}{15}-10.02^2}=\sqrt{100.408-100.4004}=\sqrt{0.0076}\approx \sqrt{0.008}\approx 0.09$. 因此，剔除离群值后，生产线当天生产的零件尺寸的均值约为 $10.02$，标准差约为 $0.09$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：相关系数计算、3单位标准差异常判定、剔除离群值后数字特征的更新。
2. 核心方法：公式直接代入与整体数据修正法。
3. 避坑指南：在计算剔除后的均值和方差时，切忌重新逐个加总，应利用原数据的总和及平方和进行减法修正。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考统计与概率解答题中结合实际工业生产监控的综合应用题。
2. 结论推广: 离群值的判定通常采用 $3\sigma$（即 $3s$）原则，超出该范围的数据视为异常并予以剔除。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2022-乙卷文-19 解-相关系数
• 2022-乙卷理-19 解-相关系数
• 2023-天津卷-07 单-相关系数