2022-乙卷理-19 解-相关系数

本题导读

本题考查平均数。核心在于公式计算法、比例估计法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2022年乙卷理） 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了 $10$ 棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：$m^2$）和材积量（单位：$m^3$），得到如下数据：

样本号$i$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	总和
根部横截面积 $x_i$	0.04	0.06	0.04	0.08	0.08	0.05	0.05	0.07	0.07	0.06	0.6
材积量 $y_i$	0.25	0.40	0.22	0.54	0.51	0.34	0.36	0.46	0.42	0.40	3.9

并计算得 ${\sum }_{i=1}^{10}{x}_i^2=0.038$，${\sum }_{i=1}^{10}{y}_i^2=1.6158$，${\sum }_{i=1}^{10}{x}_i{y}_i=0.2474$．

（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；

（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到 $0.01$）；

（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为 $186m^2$．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．

附：相关系数 $r=\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})}{\sqrt{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2{\sum }_{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2}}$，$\sqrt{1.896}\approx 1.377$．

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(1) 回归方程 $\hat{y}=0.37x+2.55$

(2) $1209m^3$

✍【详细解析】

Abstract

（1）估计平均根部横截面积与平均材积量

根据表格中的“总和”列，样本容量 $n=10$．

平均根部横截面积：

$\bar{x}=\frac{{\sum }_{i=1}^{10}{x}_i}{10}=\frac{0.6}{10}=0.06(m^2)$．

平均材积量：

$\bar{y}=\frac{{\sum }_{i=1}^{10}{y}_i}{10}=\frac{3.9}{10}=0.39(m^3)$．

（2）求样本相关系数 $r$

1. 利用简化公式转换分子与分母：

相关系数公式可变形为方便计算的形式：

$r=\frac{{\sum }_{i=1}^{10}{x}_i{y}_i-n\bar{x}\bar{y}}{\sqrt{({\sum }_{i=1}^{10}{x}_i^2-n{\bar{x}}^2)({\sum }_{i=1}^{10}{y}_i^2-n{\bar{y}}^2)}}$

2. 计算各项数值：

• 分子（协方差部分）：

  ${\sum }_{i=1}^{10}{x}_i{y}_i-n\bar{x}\bar{y}=0.2474-10\times 0.06\times 0.39$

  $=0.2474-0.234=0.0134$

• 分母（方差部分）：

  ${\sum }_{i=1}^{10}{x}_i^2-n{\bar{x}}^2=0.038-10\times (0.06{)}^2=0.038-0.036=0.002$

  ${\sum }_{i=1}^{10}{y}_i^2-n{\bar{y}}^2=1.6158-10\times (0.39{)}^2=1.6158-10\times 0.1521=1.6158-1.521=0.0948$

3. 代入公式计算：

$r=\frac{0.0134}{\sqrt{0.002\times 0.0948}}=\frac{0.0134}{\sqrt{0.0001896}}$

提取 $10^{-4}$ 到根号外：

$r=\frac{0.0134}{0.01\times \sqrt{1.896}}=\frac{1.34}{\sqrt{1.896}}$

代入参考数据 $\sqrt{1.896}\approx 1.377$：

$r\approx \frac{1.34}{1.377}\approx 0.9731$

4. 结果：

精确到 $0.01$，故 $r\approx 0.97$．

（3）估计总材积量

1. 建立比例模型：

题目已知“树木的材积量与其根部横截面积近似成正比”，设比例系数为 $k$．

我们可以用样本的均值比来估计这个比例系数（或者利用回归直线过样本中心点）：

$k=\frac{\bar{y}}{\bar{x}}=\frac{0.39}{0.06}=6.5$

2. 计算总估计值：

设该林区所有树木的总根部横截面积为 $S_X=186m^2$，总材积量为 $S_Y$．

根据正比关系：

S_Y = k \cdot S_X = \frac{\bar{y}}{\bar{x}} \times 186$$$$S_Y = 6.5 \times 186

3. 运算：

$6.5\times 186=6.5\times (200-14)=1300-91=1209$．

（或者直接乘：$186\times 6+186\times 0.5=1116+93=1209$）

结论：

该林区这种树木的总材积量的估计值为 $1209m^3$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心技巧：

  1. 公式变形：计算相关系数时，直接使用原始定义式 $\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$ 极其繁琐，必须熟练使用变形公式 $\sum x_i^2-n{\bar{x}}^2$。

  2. 小数位处理：本题数据涉及小数点后多位，计算过程中的“对齐”和“移位”（如 $\sqrt{0.0001896}=0.01\sqrt{1.896}$）是保证精度的关键。

• 规律总结：第三问中的“成正比”模型实际上是一种特殊的线性回归（截距为 0 的回归 $y=bx$），此时斜率的最佳无偏估计通常采用均值之比或总和之比。

• 避坑指南：

  • 总和与平均：题干表格最后一列给的是“总和”，第一问求的是“平均一棵”，不要直接抄 $0.6$ 和 $3.9$。

  • 单位：虽然本题不扣单位分，但在解答应用题时，最后结果带上单位（$m^3$）是良好的习惯。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差
• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-06 填-平均数
• 2008-山东卷理-08
• 2008-新课标卷文-19 解-平均数与古典概型