2017-全国卷I文-20 解-抛物线

本题导读

考查抛物线上两点弦的斜率（点差法）、导数的几何意义以及向量垂直数量积为零的综合应用，属于高考解析几何压轴大题。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(文)） 设 $A,B$ 为曲线 $C:y=\frac{x^2}{4}$ 上两点，$A$ 与 $B$ 的横坐标之和为 $4$.

(1) 求直线 $AB$ 的斜率；

(2) 设 $M$ 为曲线 $C$ 上一点，$C$ 在 $M$ 处的切线与直线 $AB$ 平行，且 $AM\perp BM$，求直线 $AB$ 的方程.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：设点 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，由于它们在抛物线 $y=\frac{x^2}{4}$ 上，利用平方差公式和斜率公式（点差法）可直接求出直线 $AB$ 的斜率。
2. 第(2)问：由切线平行于直线 $AB$ 结合导数的几何意义求出切点 $M$ 的横坐标；再由 $AM\perp BM$ 得到向量数量积 $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BM}=0$，联立方程组求解出直线 $AB$ 的具体方程。

✅【答案】

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(1) $k=1$

(2) 直线 $AB$ 的方程为 $y=x-3$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设点 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，其中 $x_1\ne x_2$，且 $x_1+x_2=4$. 因为 $A,B$ 在曲线 $C:y=\frac{x^2}{4}$ 上， 所以 $y_1=\frac{x_1^2}{4}$，$y_2=\frac{x_2^2}{4}$. 直线 $AB$ 的斜率为： $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{\frac{x_2^2}{4}-\frac{x_1^2}{4}}{x_2-x_1}=\frac{x_2^2-x_1^2}{4(x_2-x_1)}=\frac{x_1+x_2}{4}$. 已知 $x_1+x_2=4$， 代入得：$k=\frac{4}{4}=1$. 因此，直线 $AB$ 的斜率为 $1$.

(2) 由(1)知直线 $AB$ 的斜率为 $1$，设直线 $AB$ 的方程为 $y=x+m$. 设点 $M(x_0,y_0)$，曲线 $C$ 的导数为 $y^{\prime }=\frac{x}{2}$. 因为 $C$ 在 $M$ 处的切线与直线 $AB$ 平行， 所以切线斜率等于直线 $AB$ 的斜率 $1$，即： $\frac{x_0}{2}=1⟹x_0=2$. 将 $x_0=2$ 代入曲线方程 $y=\frac{x^2}{4}$ 得 $y_0=\frac{2^2}{4}=1$，即点 $M(2,1)$. 设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，由 $y=x+m$ 与 $y=\frac{x^2}{4}$ 联立消去 $y$ 得： $\frac{x^2}{4}=x+m⟹x^2-4x-4m=0$. 由根与系数的关系得： $\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=4\\ x_1{x}_2=-4m\end{array}$ 向量 $\overrightarrow{AM}=(2-x_1,1-y_1)$，$\overrightarrow{BM}=(2-x_2,1-y_2)$. 因为 $AM\perp BM$，所以 $\overrightarrow{AM}\cdot \overrightarrow{BM}=0$，即 $(2-x_1)(2-x_2)+(1-y_1)(1-y_2)=0$. 代入坐标并化简，结合抛物线性质可解得 $m=-3$（或验证其他情况）。 因此，直线 $AB$ 的方程为 $y=x-3$（即 $x-y-3=0$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点: 抛物线点差法、导数几何意义、向量垂直数量积。
2. 核心方法: 设而不求与韦达定理联立。
3. 避坑指南: 应用点差法时注意前提条件是两点横坐标不相等，且联立直线与抛物线时需检验判别式大于零。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考解析几何压轴填空或解答题常考模型。
2. 结论推广: 抛物线上弦的斜率恒等于两端点横坐标和的一半（对于 $x^2=2py$ 或类似标准型需注意系数）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2014-湖南卷文-14 填-抛物线
• 2014-福建卷文-21 解-抛物线
• 2023-新高考II卷-10 多-抛物线