2023-新高考II卷-10 多-抛物线

本题导读

本题考查抛物线的标准方程与几何性质，以及弦长与面积问题。

📌【题干】

Question

（2023年新高考II卷）设 $O$ 为坐标原点，直线 $y=-\sqrt{3}(x-1)$ 过抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 的焦点，且与 $C$ 交于 $M,N$ 两点，$l$ 为 $C$ 的准线，则（ ）

A. $p=2$　　　　　　　　　　　　　　　　B. $|MN|=\frac{8}{3}$

C. 以 $MN$ 为直径的圆与 $l$ 相切$D.$\triangle OMN$为等腰三角形$

🔍【思路分析】

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1. 判定 A（抛物线参数）：根据直线方程求出直线与 $x$ 轴的交点，即为焦点 $F(\frac{p}{2},0)$，从而求得 $p$。
2. 判定 B（焦点弦长）：利用焦点弦长公式 $|MN|=x_1+x_2+p$ 或 $|MN|=\frac{2p}{{\sin }^2\alpha }$（其中 $\alpha$ 为倾斜角）进行计算。
3. 判定 C（圆与准线关系）：利用抛物线定义，焦点弦中点到准线的距离等于弦长的一半。这是一个经典的二级结论。
4. 判定 D（三角形形状）：通过联立方程求出 $M,N$ 的坐标，利用两点间距离公式计算 $△OMN$ 的三边长，判定是否等腰。

✅【答案】

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AC

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定抛物线基本信息（判定 A） 直线方程为 $y=-\sqrt{3}(x-1)$，令 $y=0$，得 $x=1$。 所以焦点 $F(1,0)$。由 $\frac{p}{2}=1$ 得 $p=2$。 抛物线方程为 $y^2=4x$，准线 $l:x=-1$。 故 A 选项正确。

第二步：计算焦点弦长（判定 B） 直线的斜率 $k=-\sqrt{3}$，其倾斜角 $\alpha$ 满足 $\tan \alpha =-\sqrt{3}$，故 $\alpha =120^{\circ }$。 利用焦点弦长公式： $|MN|=\frac{2p}{{\sin }^2\alpha }=\frac{4}{(\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2}=\frac{4}{\frac{3}{4}}=\frac{16}{3}$。 因为 $\frac{16}{3}\ne \frac{8}{3}$，故 B 选项错误。

第三步：判定圆与准线位置关系（判定 C） 设 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$，弦 $MN$ 的中点为 $Q$。 根据抛物线定义，点 $M,N$ 到准线 $l$ 的距离分别等于 $|MF|$ 和 $|NF|$。 中点 $Q$ 到准线的距离 $d=\frac{x_1+x_2}{2}-(-1)=\frac{x_1+x_2+2}{2}$。 而以 $MN$ 为直径的圆，其半径 $R=\frac{|MN|}{2}=\frac{x_1+x_2+p}{2}=\frac{x_1+x_2+2}{2}$。 因为 $d=R$，即圆心到直线的距离等于半径，所以圆与准线相切。 故 C 选项正确。

第四步：判定三角形形状（判定 D） 联立 $\{\begin{array}{l}y=-\sqrt{3}(x-1)\\ y^2=4x\end{array}$ 得 $3(x-1{)}^2=4x⟹3x^2-10x+3=0$。 解得 $x_1=3,x_2=\frac{1}{3}$。 代入直线方程得 $y_1=-2\sqrt{3},y_2=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。 则 $M(3,-2\sqrt{3}),N(\frac{1}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3})$。 $|OM{|}^2=3^2+(-2\sqrt{3}{)}^2=9+12=21$； $|ON{|}^2=(\frac{1}{3}{)}^2+(\frac{2\sqrt{3}}{3}{)}^2=\frac{1}{9}+\frac{12}{9}=\frac{13}{9}$； $|MN{|}^2=(\frac{16}{3}{)}^2=\frac{256}{9}$。 三边长度均不相等，故 $△OMN$ 不是等腰三角形。 故 D 选项错误。

综上所述，正确选项为 AC。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线焦点坐标、焦点弦长公式、抛物线定义的应用。
2. 核心方法：定义法、联立方程求交点坐标法。
3. 避坑指南：计算焦点弦长时优先使用 $|MN|=\frac{2p}{{\sin }^2\alpha }$ 提高效率；判定三角形形状时应求出三边长平方严密比对，切忌凭几何直觉判断。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：考查圆锥曲线中典型的直线与抛物线焦点弦问题，侧重于定义的几何转化。
2. 结论推广：抛物线焦点弦的二级结论具有普适性：

• 以任意焦点弦 $MN$ 为直径的圆必与准线相切。
• 以焦点半径（如 $MF$）为直径的圆必与 $y$ 轴（顶点处的切线）相切。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2013-新课标II卷理-11 单-抛物线定义
• 2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义
• 2014-新课标II卷理-10 单-抛物线定义