2017-全国卷I文-23 解-绝对值不等式

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法。核心在于分类讨论法、等价转化法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(文)） 已知函数 $f(x)=x^2+ax+4$，$g(x)=|x+1|+|x-1|$.

(1)当 $a=1$ 时，求不等式 $f(x)\ge g(x)$ 的解集；

(2)若不等式 $f(x)\ge g(x)$ 的解集包含 $[-1,1]$，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（解不等式）：

• 分段消去绝对值：根据 $g(x)$ 的绝对值零点 $x=-1$ 和 $x=1$，将数轴分为 $(-\infty ,-1)$，$[-1,1]$，$(1,+\infty )$ 三部分。
• 分段求解：在每个区间内去掉绝对值符号，得到关于 $x$ 的二次不等式，解出各段的解集。
• 取并集：将三段的解合并即为最终解集。

2. 第二问（恒成立问题）：

• 转化条件：解集包含 $[-1,1]$，意味着“当 $x\in [-1,1]$ 时，$f(x)\ge g(x)$ 恒成立”。
• 简化函数：在区间 $[-1,1]$ 上，$g(x)=(x+1)+(1-x)=2$。
• 利用单调性/端点值：不等式变为 $x^2+ax+4\ge 2$，即 $x^2+ax+2\ge 0$ 对 $x\in [-1,1]$ 恒成立。由于二次函数的开口向上，其在闭区间上的最小值必在端点或顶点取得，结合线性项 $ax$ 的特征，只需保证两端点值均不小于 0 即可。

✅【答案】

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(1) 解集为 $\mathbb{R}$

(2) $a\in [-3,3]$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 当 $a=1$ 时，$f(x)=x^2+x+4$。不等式为 $x^2+x+4\ge |x+1|+|x-1|$。 ① 当 $x<-1$ 时，原式变为 $x^2+x+4\ge -(x+1)-(x-1)$ $x^2+x+4\ge -2x\Rightarrow x^2+3x+4\ge 0$。 由于 $\Delta =3^2-4\times 4=-7<0$，该二次式恒大于 0。 故此区间解集为 $\{x|x<-1\}$。

② 当 $-1\le x\le 1$ 时，原式变为 $x^2+x+4\ge (x+1)-(x-1)$ $x^2+x+4\ge 2\Rightarrow x^2+x+2\ge 0$。 由于 $\Delta =1^2-4\times 2=-7<0$，该二次式恒大于 0。 故此区间解集为 $\{x|-1\le x\le 1\}$。

③ 当 $x>1$ 时，原式变为 $x^2+x+4\ge (x+1)+(x-1)$ $x^2+x+4\ge 2x\Rightarrow x^2-x+4\ge 0$。 由于 $\Delta =(-1{)}^2-4\times 4=-15<0$，该二次式恒大于 0。 故此区间解集为 $\{x|x>1\}$。

综上所述，不等式的解集为 $\mathbb{R}$（或填 $(-\infty ,+\infty )$）。

(2)解： 若 $f(x)\ge g(x)$ 的解集包含 $[-1,1]$，则 $\forall x\in [-1,1],f(x)\ge g(x)$。 当 $x\in [-1,1]$ 时，$x+1\ge 0$ 且 $x-1\le 0$， 所以 $g(x)=(x+1)-(x-1)=2$。 问题等价于：$x^2+ax+4\ge 2$ 对 $x\in [-1,1]$ 恒成立， 即 $h(x)=x^2+ax+2\ge 0$ 对 $x\in [-1,1]$ 恒成立。 由于 $h(x)$ 是开口向上的二次函数，其在区间 $[-1,1]$ 上的最小值必在 $x=-1$ 或 $x=1$ 处取得。 因此，只需满足： $\{\begin{array}{l}h(-1)\ge 0\\ h(1)\ge 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}(-1{)}^2+a(-1)+2\ge 0\\ 1^2+a(1)+2\ge 0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}3-a\ge 0\\ 3+a\ge 0\end{array}$ 解得 $-3\le a\le 3$。 故 $a$ 的取值范围是 $[-3,3]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 绝对值的几何意义：$g(x)=|x+1|+|x-1|$ 表示数轴上的点到 $-1$ 和 $1$ 的距离之和。在 $[-1,1]$ 之间，这个距离之和恒为 $2$。
• 区间恒成立问题：对于开口向上的二次函数，若要求在 $[m,n]$ 上恒大于 $0$，最简便的充分必要条件是两个端点值都大于 $0$。
• 解集包含的逻辑：$A\subseteq B$ 意味着 $A$ 中的每一个元素都必须满足 $B$ 的条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2008-上海卷文-01 填-绝对值不等式
• 2010-新课标卷文-24 解-绝对值不等式
• 2011-新课标卷文-24 解-绝对值不等式