2010-新课标卷文-24 解-绝对值不等式

本题导读

考查绝对值不等式。（1）顶点 $(2,1)$ 的 V 形折线；（2）$x>0$ 时需 $a⩾\frac{1}{2}$，$x<0$ 时需 $a<-2$，故 $a\in (-\infty ,-2)\cup \left[\frac{1}{2},+\infty \right)$。

📌【题干】

Question

（2010年新课标卷(文)） 【选修4-5：不等式选讲】设函数 $f(x)=|2x-4|+1$.

(1)画出函数 $y=f(x)$ 的图象；

(2)若不等式 $f(x)⩽ax$ 的解集非空，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1.（1）$f(x)=\{\begin{array}{ll}-2x+5,& x<2,\\ 2x-3,& x⩾2,\end{array}$ 顶点 $(2,1)$，过 $(0,5)$。 2.（2）$x=0$ 不成立。$x>0$：$\frac{f(x)}{x}⩾\frac{1}{2}$（$x=2$ 取到），需 $a⩾\frac{1}{2}$。 3. $x<0$：不等式化为 $a⩽-2+\frac{5}{x}<-2$，需 $a<-2$。 4. 合并：$a<-2$ 或 $a⩾\frac{1}{2}$。

✅【答案】

点击查看答案

(1) 图象见解析

(2) $a\in (-\infty ,-2)\cup \left[\frac{1}{2},+\infty \right)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）函数可写成分段形式 $f(x)=\{\begin{array}{ll}-2x+5,& x<2,\\ 2x-3,& x⩾2,\end{array}$ 图象是顶点为 $(2,1)$ 的折线，左侧斜率 $-2$、右侧斜率 $2$，过点 $(0,5)$ 与 $\left(\frac{5}{2},2\right)$，在坐标系中作出两条射线即可。 （2）$x=0$ 时 $f(0)=5>0=ax$，不等式不成立。 当 $x>0$ 时，不等式等价于 $a⩾\frac{f(x)}{x}$。而 $\frac{f(x)}{x}=\{\begin{array}{ll}\frac{5}{x}-2,& 0<x<2,\\ 2-\frac{3}{x},& x⩾2,\end{array}$ 当 $0<x<2$ 时 $\frac{5}{x}-2>\frac{1}{2}$；当 $x⩾2$ 时 $2-\frac{3}{x}⩾\frac{1}{2}$（$x=2$ 取等）， 所以 $\frac{f(x)}{x}$ 在 $x>0$ 上的最小值为 $\frac{1}{2}$，故存在正数解当且仅当 $a⩾\frac{1}{2}$。 当 $x<0$ 时，$f(x)=-2x+5$，不等式两边除以负数 $x$，等价于 $a⩽-2+\frac{5}{x}$。 由 $x<0$ 知 $-2+\frac{5}{x}<-2$，故存在负数解当且仅当 $a<-2$。 综上，$a$ 的取值范围为 $(-\infty ,-2)\cup \left[\frac{1}{2},+\infty \right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值函数的图象与含参不等式有解问题

核心方法：（1）零点分段去绝对值；（2）分 $x>0$、$x<0$ 化为 $\frac{f(x)}{x}$ 的界

避坑指南：“解集非空”等价于 $a$ 能取到 $\frac{f(x)}{x}$ 的某个值，不是恒成立；除以负数 $x$ 时不等号要反向。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$|2x-4|+1$ 的图象是顶点 $(2,1)$ 的 V 形折线，画图抓顶点与斜率。

结论推广：$f(x)⩽ax$ 的几何意义：折线落在射线 $y=ax$ 下方有点，比较斜率即得临界。

方法推广：$x>0$ 时 $\frac{f(x)}{x}$ 的最小值为 $\frac{1}{2}$（在 $x=2$ 取得），$x<0$ 时上界趋于 $-2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2009-新课标卷文-24 解-绝对值函数分段不等式
• 2009-大纲卷I文-03 单-分式绝对值不等式
• 2009-天津卷文-08 单-分段函数不等式
• 2009-江苏卷-20 解-绝对值二次函数