2017-全国卷I理-04 单-等差数列

本题导读

本题考查等差数列的通项公式，以及等差数列的前n项和公式。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(理)） 记 $S_n$ 为等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和.若 $a_4+a_5=24$，$S_6=48$，则 $\{a_n\}$ 的公差为 ()

A. 1　　　　　　　B. 2　　　　　　　C. 4　　　　　　　D. 8

🔍【思路分析】

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1. 基本量法（常规思路）：设等差数列的首项为 $a_1$，公差为 $d$。利用通项公式 $a_n=a_1+(n-1)d$ 和求和公式 $S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$ 列出关于 $a_1$ 和 $d$ 的方程组。
2. 性质法（秒杀思路）：

• 利用等差数列求和性质 $S_6=\frac{6(a_1+a_6)}{2}=3(a_1+a_6)$。
• 根据下标和性质 $a_1+a_6=a_3+a_4$，从而得到 $a_3+a_4$ 的值。
• 观察已知条件 $a_4+a_5$ 与推导出的 $a_3+a_4$ 的差值，直接锁定公差 $d$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 C 【解析过程】 方法一：基本量法 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。 由 $a_4+a_5=24$ 得：$(a_1+3d)+(a_1+4d)=24$，即 $2a_1+7d=24$ ① 由 $S_6=48$ 得：$6a_1+\frac{6\times 5}{2}d=48$，即 $6a_1+15d=48$。 简化得：$2a_1+5d=16$ ② 由 ① - ② 得：$2d=8$，解得 $d=4$。 故选 C

方法二：性质法（秒杀） 因为 $S_6=\frac{6(a_1+a_6)}{2}=3(a_1+a_6)=48$，所以 $a_1+a_6=16$。 由等差数列性质知 $a_1+a_6=a_3+a_4=16$。 已知 $a_4+a_5=24$， 则 $(a_4+a_5)-(a_3+a_4)=24-16=8$。 即 $a_5-a_3=2d=8$，解得 $d=4$。 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 方程组思想：在数列大题中，基本量法是最稳健的保分手段；但在选择填空题中，灵活运用性质可以大幅减少计算量。
• 对称性：等差数列关于中心项（或中心下标对）具有对称性，如 $a_1+a_6=a_2+a_5=a_3+a_4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 等差数列中 $S_n$ 与中项的关系：

• 若 $n$ 为奇数，$S_n=n\cdot a_{\text{mid}}$（例如 $S_5=5a_3$）。
• 若 $n$ 为偶数，$S_n=\frac{n}{2}(a_{\text{left\_mid}}+a_{\text{right\_mid}})$（例如 $S_6=3(a_3+a_4)$）。

2. 常见下标和性质： 若 $m+n=p+q$，则 $a_m+a_n=a_p+a_q$。

3. 变式训练： 若题目改为 $a_3+a_8=20$，$S_{10}=100$，求 $a_1$。 （提示：$S_{10}=5(a_1+a_{10})=5(a_3+a_8)$，代入发现 $5\times 20=100$ 恒成立，此时 $d$ 可为任意值，需结合其他条件）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2009-山东卷文-13 填-等差数列
• 2013-新课标II卷文-17 解-等差数列
• 2014-江西卷文-13 填-等差数列