2017-全国卷I理-05 单-函数单调性

本题导读

本题考查函数的单调性，以及函数的奇偶性。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(理)） 函数 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 单调递减，且为奇函数.若 $f(1)=-1$，则满足 $-1\le f(x-2)\le 1$ 的 $x$ 的取值范围是 ()

A. $[-2,2]$　　　　B. $[-1,1]$　　　　C. $[0,4]$　　　　D. $[1,3]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用奇偶性找对称值：已知 $f(x)$ 是奇函数且 $f(1)=-1$，根据 $f(-x)=-f(x)$ 可知 $f(-1)=-f(1)=1$。
2. 转化不等式：将目标不等式 $-1\le f(x-2)\le 1$ 中的常数替换为具体的函数值，即 $f(1)\le f(x-2)\le f(-1)$。
3. 利用单调性脱去 $f$：因为 $f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递减，所以在比较大小时，自变量的方向与函数值方向相反。
4. 解简单不等式：求出 $x$ 的范围。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 D 【解析过程】 因为 $f(x)$ 是定义在 $\mathbb{R}$ 上的奇函数，且 $f(1)=-1$， 所以 $f(-1)=-f(1)=1$。 目标不等式为：$-1\le f(x-2)\le 1$。 代入已知函数值，不等式等价于： $f(1)\le f(x-2)\le f(-1)$。 又因为 $f(x)$ 在 $(-\infty ,+\infty )$ 上单调递减， 所以有：$1\ge x-2\ge -1$（注意：单调递减，不等号方向反转）。 解这个关于 $x$ 的不等式组：

• 由 $x-2\le 1$ 得 $x\le 3$；
• 由 $x-2\ge -1$ 得 $x\ge 1$。 综上所述，$1\le x\le 3$。 即 $x$ 的取值范围是 $[1,3]$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 抽象函数不等式：解此类题的核心逻辑是“将常数函数化，将函数单调化”。一定要注意单调递减时脱去函数符号要变向。
• 奇函数的特征：奇函数图像关于原点对称，且若在原点有定义，必有 $f(0)=0$（虽然本题未直接用到，但这是常用隐含条件）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 复合函数平移视角： $f(x-2)$ 的图像是由 $f(x)$ 向右平移 2 个单位得到的。 已知 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上的值域为 $[f(1),f(-1)]=[-1,1]$。 那么 $f(x-2)$ 在区间 $[-1+2,1+2]=[1,3]$ 上的值域即为 $[-1,1]$。

2. 变式思考： 如果题目改为“$f(x)$ 是偶函数”，且在 $[0,+\infty )$ 单调递减，$f(1)=-1$。 那么由 $f(x-2)\le 1$ 且 $f(0)$ 未知，通常需要分类讨论或利用 $|x-2|$ 来解，复杂度会增加。

3. 易错点提醒： 很多同学在脱去 $f$ 符号时，习惯性保持不等号方向不变，导致误选 $x-2\in [1,-1]$（无解或错误区间），务必时刻警惕“减函数变向”这一准则。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-北京卷理-02 单-函数单调性
• 2014-新课标II卷文-11 单-函数单调性
• 2014-浙江卷理-10 单-函数单调性