2014-浙江卷理-10 单-函数单调性

本题导读

本题是选择题的压轴题，考查函数全变差的概念应用。通过计算或估算函数在等分点处函数值差的绝对值之和，考查学生对函数波动性（单调性变化）的深刻理解及复杂求和的运算技巧。

📌【题干】

Question

（2014年浙江卷(理)）设函数 $f_{1} (x) = x^{2}$ ， $f_{2} (x) = 2 (x - x^{2})$ ， $f_{3} (x) = \frac{1}{3} ∣ sin 2 π x ∣$ ， $a_{i} = \frac{i}{99}$ ， $i = 0, 1, 2, \dots, 99$ .记 $I_{k} = ∣ f_{k} (a_{1}) - f_{k} (a_{0}) ∣ + ∣ f_{k} (a_{2}) - f_{k} (a_{1}) ∣ + \dots + ∣ f_{k} (a_{99}) - f_{k} (a_{98}) ∣$ ， $k = 1, 2, 3$ .则()

A. $I_{1} < I_{2} < I_{3}$ 　　　　　　　　　　　　　　　B. $I_{2} < I_{1} < I_{3}$

C. $I_{1} < I_{3} < I_{2}$ 　　　　　　　　　　　　　　　D. $I_{3} < I_{2} < I_{1}$

🔍【思路分析】

破题导航

理解 $I_{k}$ 的几何意义： $I_{k}$ 表示函数 $f_{k} (x)$ 在区间 $[0, 1]$ 上随自变量等分增加时，因变量变化的绝对值累计之和。若函数在 $[0, 1]$ 上单调，则 $I_{k} = ∣ f_{k} (1) - f_{k} (0) ∣$ 。

分析单调性与波动：

$f_{1} (x) = x^{2}$ ：在 $[0, 1]$ 上单调递增，波动最小。

$f_{2} (x) = 2 (x - x^{2})$ ：开口向下，顶点在 $x = \frac{1}{2}$ ，在 $[0, 1]$ 上先增后减。

$f_{3} (x) = \frac{1}{3} ∣ sin 2 π x ∣$ ：含绝对值的正弦函数，周期为 $\frac{1}{2}$ ，在 $[0, 1]$ 上有两个波峰，波动最剧烈。

计算与估算：

对于单调函数， $I_{1} = f_{1} (1) - f_{1} (0)$ 。

对于有极值的函数， $I_{k} \approx \sum ∣ f (x_{极值}) - f (x_{端点}) ∣$ 。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算 $I_{1}$

因为 $f_{1} (x) = x^{2}$ 在 $[0, 1]$ 上单调递增，

$I_{1} = (f_{1} (a_{1}) - f_{1} (a_{0})) + (f_{1} (a_{2}) - f_{1} (a_{1})) + \dots + (f_{1} (a_{99}) - f_{1} (a_{98}))$

$I_{1} = f_{1} (a_{99}) - f_{1} (a_{0}) = f_{1} (1) - f_{1} (0) = 1^{2} - 0^{2} = 1$

第二步：计算或估算 $I_{2}$

$f_{2} (x) = - 2 x^{2} + 2 x$ ，对称轴 $x = \frac{1}{2}$ 。在 $[0, \frac{1}{2}]$ 递增，在 $[\frac{1}{2}, 1]$ 递减。

$f_{2} (0) = 0, f_{2} (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}, f_{2} (1) = 0$ 。

由于 $a_{49} = \frac{49}{99} < \frac{1}{2} < a_{50} = \frac{50}{99}$ ，

$I_{2} \approx ∣ f_{2} (\frac{1}{2}) - f_{2} (0) ∣ + ∣ f_{2} (1) - f_{2} (\frac{1}{2}) ∣ = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ 。

精确计算表明，由于分点不恰好在顶点，路径会有极小的损失（见解析图示计算），故 $I_{2} < 1$ 。

（注： $I_{2} = 2 \times \frac{1}{99} \times ∣ \sum \dots ∣ = \frac{98 \times 100}{99 \times 99} < 1$ ）

第三步：估算 $I_{3}$

$f_{3} (x) = \frac{1}{3} ∣ sin 2 π x ∣$ 在 $[0, 1]$ 上有 2 个完整的“波瓣”。

每个波瓣从 $0$ 上升到 $\frac{1}{3}$ 再下降到 $0$ 。

累计变化量约为 $4 \times \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ 。

因为 $\frac{4}{3} > 1$ ，所以 $I_{3} > I_{1}$ 。

]

结论： $I_{2} < 1, I_{1} = 1, I_{3} > 1$ ，即 $I_{2} < I_{1} < I_{3}$ 。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数的全变差、单调性与绝对值累积求和

核心方法：图像估算法。通过观察函数图像在区间内的“爬坡”和“下坡”总高度，可以快速判断 $I_{k}$ 的大小关系。

避坑指南：不要陷入复杂的三角函数或二次函数求和运算，利用单调性裂项相消才是解题关键。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 黎曼和、可变差函数、级数求和。

结论推广: 若函数 $f (x)$ 在 $[a, b]$ 上单调，其全变差等于 $∣ f (b) - f (a) ∣$ 。

方法推广: 在处理这种涉及大量绝对值求和的题目时，寻找函数的极值点并按单调区间拆分是通法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

05.02 函数的四大性质

19.04 数列求和核心方法与裂项模型

19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

2014-新课标II卷文-11 单-函数单调性

2023-新高考I卷-04 单-复合函数单调性

2013-四川卷理-10 单-单调性

∑ ( Math )

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2014-浙江卷理-10 单-函数单调性

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