2017-全国卷I理-14 填-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划，以及不等式组表示的平面区域。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(理)） 设 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+2y\le 1\\ 2x+y\ge -1\\ x-y\le 0\end{array}$，则 $z=3x-2y$ 的最小值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 绘制可行域：在平面直角坐标系中，画出三条直线 $x+2y=1$, $2x+y=-1$, $x-y=0$，并根据不等号方向确定三者围成的封闭区域（三角形区域）。
2. 求顶点坐标：联立方程组，求出三角形的三个顶点 $A,B,C$ 的坐标。
3. 分析目标函数：将 $z=3x-2y$ 变形为直线的截距式 $y=\frac{3}{2}x-\frac{z}{2}$。由于 $z$ 的系数为负，$-\frac{z}{2}$ 越大则 $z$ 越小。即直线在 $y$ 轴上的截距越大，$z$ 值越小。
4. 寻找最优解：通过平移直线 $y=\frac{3}{2}x$，观察在哪一个顶点处截距最大。

✅【答案】

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$-5$

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 $-5$

【解析过程】 第一步：确定可行域顶点 联立约束条件中的方程：

• 由 $\{\begin{array}{l}x+2y=1\\ 2x+y=-1\end{array}$ 解得 $A(-1,1)$；
• 由 $\{\begin{array}{l}2x+y=-1\\ x-y=0\end{array}$ 解得 $B(-\frac{1}{3},-\frac{1}{3})$；
• 由 $\{\begin{array}{l}x+2y=1\\ x-y=0\end{array}$ 解得 $C(\frac{1}{3},\frac{1}{3})$。


第二步：判定最值点 目标函数为 $z=3x-2y$，变形为 $y=\frac{3}{2}x-\frac{z}{2}$。 该直线的斜率 $k=\frac{3}{2}=1.5$。

• 直线 $x-y=0$ 的斜率为 1；
• 直线 $x+2y=1$ 的斜率为 $-0.5$；
• 直线 $2x+y=-1$ 的斜率为 $-2$。 通过平移发现，当直线 $y=\frac{3}{2}x-\frac{z}{2}$ 经过点 $A(-1,1)$ 时，直线在 $y$ 轴上的截距 $-\frac{z}{2}$ 达到最大值，此时 $z$ 最小。

第三步：代入计算 将 $A(-1,1)$ 代入 $z=3x-2y$： $z_{\min }=3\times (-1)-2\times 1=-3-2=-5$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 截距与最值的对应关系：在 $z=ax+by$ 型目标函数中，若 $b<0$，则截距越大 $z$ 越小；若 $b>0$，则截距越大 $z$ 越大。
• 角点法则：对于线性规划，最优解一定在可行域的顶点（或边界线）上取得。在选择填空题中，求出所有顶点直接代入比较大小是最稳妥的“暴力”解法。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 目标函数变式：

• 若 $z=x^2+y^2$，几何意义是区域内的点到原点距离的平方。
• 若 $z=\frac{y-2}{x-3}$，几何意义是区域内的点与定点 $(3,2)$ 连线的斜率。

2. 易错点： 画图时一定要准确标注阴影区域。如果区域选错，计算出的最值就会南辕北辙。建议取原点 $(0,0)$ 代入不等式组快速校验区域位置（如本题中原点满足所有条件，则原点在区域内）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2009-天津卷文-02 单-线性规划
• 2009-山东卷文-16 填-线性规划
• 2011-大纲卷文-04 单-线性规划