2017-全国卷I理-19 解-正态分布

本题导读

本题考查正态分布。核心在于独立重复试验、样本统计量计算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷I(理)） 为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位：$\text{cm}$）. 根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$.

(1)假设生产状态正常，记 $X$ 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 $(\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma )$ 之外的零件数，求 $P(X\ge 1)$ 及 $X$ 的数学期望；

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 $(\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma )$ 之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况.

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）检验员抽取的 16 个零件尺寸：

$9.95,10.12,9.96,9.96,10.01,9.92,9.98,10.04,10.26,9.91,10.13,10.02,9.22,10.04,10.05,9.95$

经计算得： $\bar{x}=\frac{1}{16}{\sum }_{i=1}^{16}{x}_i=9.97,s=\sqrt{\frac{1}{16}{\sum }_{i=1}^{16}(x_i-\bar{x}{)}^2}=\sqrt{\frac{1}{16}\left({\sum }_{i=1}^{16}{x}_i^2-16{\bar{x}}^2\right)}\approx 0.212$ 其中 $x_i$ 为抽取的第 $i$ 个零件的尺寸，$i=1,2,\dots ,16$.

用样本平均数 $\bar{x}$ 作为 $\mu$ 的估计值 $\hat{\mu }$，用样本标准差 $s$ 作为 $\sigma$ 的估计值 $\hat{\sigma }$，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除 $(\hat{\mu }-3\hat{\sigma },\hat{\mu }+3\hat{\sigma })$ 之外的数据，用剩下的数据估计 $\mu$ 和 $\sigma$（精确到 0.01）.

附：若随机变量 $Z$ 服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $P(\mu -3\sigma <Z<\mu +3\sigma )=0.9974$，$0.9974^{16}\approx 0.9592$，$\sqrt{0.008}\approx 0.09$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（概率与期望）：

• 每个零件尺寸落在范围外的概率 $p=1-0.9974=0.0026$。
• $X$ 服从二项分布 $B(16,p)$。
• $P(X\ge 1)=1-P(X=0)$。期望 $E(X)=np$。

2. 第二问（ⅰ）（合理性）：

• 关键在于说明正常状态下，出现范围外零件是“小概率事件”。

3. 第二问（ⅱ）（数据处理）：

• 判断：计算 $[\hat{\mu }-3\hat{\sigma },\hat{\mu }+3\hat{\sigma }]$ 范围，检查 16 个数据中是否有越界者。
• 修正：剔除异常值后，利用平均数公式和方差公式重新计算。注意方差计算时建议利用 $\sum x_i^2=n(s^2+{\bar{x}}^2)$ 还原总平方和。

✅【答案】

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(1) $P(X\ge 1)\approx 0.0408$，$E(X)=0.0416$

(2) ① 需检查；② $\hat{\mu }=10.02$，$\hat{\sigma }\approx 0.09$

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 由题意，每个零件尺寸在 $(\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma )$ 之外的概率为 $p=1-0.9974=0.0026$。 零件数 $X\sim B(16,0.0026)$。 $P(X\ge 1)=1-P(X=0)=1-(1-p{)}^{16}=1-0.9974^{16}\approx 1-0.9592=0.0408$。 $X$ 的数学期望 $E(X)=16\times 0.0026=0.0416$。

(2)（ⅰ）解： 合理性说明：在生产线正常状态下，尺寸落在范围外的概率仅为 $0.0026$。在一次试验（抽取 16 个零件）中，至少出现一个异常零件的概率 $P(X\ge 1)=0.0408$ 是一个小概率事件。 根据小概率原理，如果在一次抽检中发生了小概率事件，就有理由认为生产过程出现了异常。

(2)（ⅱ）解：

① 判断是否检查： $\hat{\mu }=9.97,\hat{\sigma }=0.212$， 则 $3\hat{\sigma }=0.636$。 $(\hat{\mu }-3\hat{\sigma },\hat{\mu }+3\hat{\sigma })=(9.97-0.636,9.97+0.636)=(9.334,10.606)$。 观察样本数据发现，$9.22<9.334$，即 $9.22$ 落在范围之外。 因此，需要对当天的生产过程进行检查。

② 重新估计 $\mu$ 和 $\sigma$： 剔除异常数据 $9.22$ 后，剩下 $n=15$ 个数据。 新平均数 ${\bar{x}}_{\text{new}}=\frac{16\times 9.97-9.22}{15}=\frac{150.3}{15}=10.02$。 故 $\mu$ 的估计值为 $10.02$。 原样本平方和 ${\sum }_{i=1}^{16}{x}_i^2=16(s^2+{\bar{x}}^2)=16(0.212^2+9.97^2)\approx 1591.134$。 剔除 $9.22$ 后的平方和 ${\sum }_{\text{new}}{x}_i^2=1591.134-9.22^2=1591.134-85.0084=1506.1256$。 新方差 $s_{\text{new}}^2=\frac{1}{15}({\sum }_{\text{new}}{x}_i^2-15{\bar{x}}_{\text{new}}^2)=\frac{1}{15}(1506.1256-15\times 10.02^2)=\frac{1506.1256-1506.006}{15}\approx 0.008$。 新标准差 $s_{\text{new}}=\sqrt{0.008}\approx 0.09$。 故 $\sigma$ 的估计值为 $0.09$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 3σ原则：在正态分布中，$3\sigma$ 之外的面积仅占 $0.26\%$，这是工业质量控制的基础。
• 期望的意义：$E(X)$ 很小（小于 1）进一步说明了正常情况下异常件的罕见性。
• 方差公式的逆用：在处理剔除数据后的方差时，先还原 $\sum x_i^2$ 是最高效的策略。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

3. 方法推广：待补

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2021-新高考II卷-06 单-正态分布
• 2022-新高考II卷-13 填-正态分布
• 2024-新高考I卷-09 多-正态分布