2024-新高考I卷-09 多-正态分布

本题导读

本题结合“一带一路”实际背景，考查统计中正态分布的应用. 核心考查意图是要求学生利用样本数据对总体参数进行估计，并利用正态分布曲线的对称性及特定区间概率值（$\mu \pm \sigma$）判定概率的大小关系.

📌【题干】

Question

（2024年新高考I卷）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口. 为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值 $\bar{x}=2.1$，样本方差 $s^2=0.01$.已知该种植区以往的亩收入 $X$ 服从正态分布 $N(1.8,0.1^2)$，假设推动出口后的亩收入 $Y$ 服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，则() (若随机变量 $Z\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则 $P(Z<\mu +\sigma )\approx 0.8413$)

A. $P(X>2)>0.2$　　　　　　　　　　　　　B. $P(X>2)<0.5$

C. $P(Y>2)>0.5$　　　　　　　　　　　　　D. $P(Y>2)<0.8$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 $X$ 的分布情况（以往情况）：

• $X\sim N(1.8,0.1^2)$，其中 ${\mu }_X=1.8$，${\sigma }_X=0.1$.
• 判断 $2$ 与均值的关系：$2=1.8+2{\sigma }_X$.
• 利用正态分布的对称性和 $3\sigma$ 原则（或题目给出的特定概率）判断 $P(X>2)$ 的范围.

2. 估计 $Y$ 的分布参数（当前情况）：

• 利用样本均值估计总体均值 $\mu \approx \bar{x}=2.1$.
• 利用样本方差估计总体方差 ${\sigma }^2\approx s^2=0.01⟹\sigma \approx 0.1$.

3. 判断 $Y$ 的概率分布（当前情况）：

• 比较 $2$ 与估计均值 $2.1$ 的关系.
• 利用 $P(Y>\mu )=0.5$ 以及 $P(Y>\mu -\sigma )$ 等特定值判定 $P(Y>2)$ 的范围.

✅【答案】

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BC

✍【详细解析】

Abstract

第一步：判定 A、B 选项（关于 $X$） 已知 $X\sim N(1.8,0.1^2)$，均值 ${\mu }_1=1.8$，标准差 ${\sigma }_1=0.1$. 因为 $2=1.8+0.2={\mu }_1+2{\sigma }_1$，且 $2>1.8$. 由正态曲线对称性可知，$P(X>1.8)=0.5$，所以 $P(X>2)<0.5$，B 正确. 再看具体数值：由题意 $P(X<\mu +\sigma )=0.8413$，则 $P(X>\mu +\sigma )=1-0.8413=0.1587$. 由于 $2={\mu }_1+2{\sigma }_1>{\mu }_1+{\sigma }_1$，所以 $P(X>2)<P(X>{\mu }_1+{\sigma }_1)=0.1587$. 因此 $P(X>2)<0.1587<0.2$，A 错误.

第二步：判定 C、D 选项（关于 $Y$） 由样本数据估计，$Y\sim N(2.1,0.1^2)$，均值 ${\mu }_2=2.1$，标准差 ${\sigma }_2=0.1$. 对于 $P(Y>2)$，因为 $2<{\mu }_2=2.1$： 由对称性，$P(Y>2.1)=0.5$，所以 $P(Y>2)>0.5$，C 正确. 进一步计算：$2=2.1-0.1={\mu }_2-{\sigma }_2$. 由正态分布的对称性： $P(Y>{\mu }_2-{\sigma }_2)=P(Y<{\mu }_2+{\sigma }_2)$. 已知 $P(Z<\mu +\sigma )\approx 0.8413$， 所以 $P(Y>2)\approx 0.8413$. 因为 $0.8413>0.8$，所以 $P(Y>2)<0.8$ 是错误的，D 错误.

故选：BC.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：用样本特征数对正态分布总体参数进行点估计、正态分布曲线的中心对称与镜面反射转换、一倍及两倍标准差临界截断概率的夹逼比较。
2. 核心方法：对称平移法（正态分布的核心破题Armor）.

正态分布客观题的核心尊严在于“免积分、看对称”。当遇到形如 $P(Y>\mu -\sigma )$ 这种位于均值左侧的负向跨步概率时，千万不要慌张，第一第一反应是利用 $x=\mu$ 轴，将其无损转换为右侧正向跨步的累积概率 $P(Y<\mu +\sigma )$。这一步能够直接与题干中给出的标准已知项完成咬合，瞬间实现代数简化。

3. 避坑指南：

• 避坑指南 1（样本均值方差不会代入，卡在模型重构上）：部分同学在考场上由于缺乏统计点估计的常识，看到样本均值 $\bar{x}$ 和样本方差 $s^2$，不知道如何去和总体 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 的未知字母对接。务必牢记：在没有其他总体信息的前提下，样本均值和样本方差就是总体均值和总体方差最天然、最直接的代入替身。
• 避坑指南 2（在 C、D 选项中对称方向算反）：个别考生在处理 $P(Y>2)$ 时，由于粗心把 $2=2.1-0.1$ 看成了均值右侧的项，误记为 $P(Y>\mu +\sigma )=0.1587$，从而错误地判定其小于 0.5 且小于 0.8，导致在 C、D 的判决中全盘崩坏。在草稿纸上顺手画一个“钟形草图”标出 2.1 和 2 的相对位置，是防止低级符号错误的刚性范围。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教A版选择性必修第三册第八章《成对数据的统计分析》与《随机变量及其分布》中正态分布应用板块的经典母题。新高考命题组去除了传统模拟卷中诸如“求 $P(1.7<X<1.9)$ 这种纯拼凑数据的枯燥计算”，引入真实的经济合作发展背景，将“用样本估计总体”的统计前沿步骤与正态曲线几何对称特征进行了高纯度的融合，纯粹考查考生的应用建模力。
2. 结论推广（正态分布概率区间变形的“几何镜面模型”）：

我们将正态分布最核心、最高频的对称平移关系提炼为一个标准的**“镜面映射不变量网络”**。设 $Z\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$：

• 双向补集律： $P(Z>\mu +k\sigma )=P(Z<\mu -k\sigma )=1-P(Z<\mu +k\sigma )$
• 区间跨度律： $P(\mu -k\sigma <Z<\mu +k\sigma )=2P(Z<\mu +k\sigma )-1=1-2P(Z<\mu -k\sigma )$
• 掌握了这一套网络，未来在任何模拟考上只要看到形式复杂的概率表达式，直接在脑海中将其标准化平移，均可在 3 秒内将其转化为最简形式，达成快速求解。

3. 方法推广（从点估计到全域区间估计与假设检验的思维通达）：

本题所展现的利用样本特征数替换总体未知元、利用图象对称性分离不等式外壳的技术，是攻克统计概率的黄金底座。未来当这一考点从高二的“正态分布客观题”推广到新高考卷第 19 题的“复杂统计案例分析大题”、或者是利用“独立性检验（ ${\chi }^2$ 列联表）进行决策判定”时，其底层的方法——“抓住数据特征进行参数合理外推，利用不变量分布进行临界红线筛选”，其数学本质完全合流。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 23.05 正态分布
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2008-重庆卷理-05
• 2013-湖北卷理-20 解-正态分布的性质与概率计算
• 2014-新课标I卷理-18 解-平均数与方差的估计