2017-全国卷II文-21 解-导数综合

本题导读

考查利用导数研究含指数因式函数的单调性，以及在指定区间上利用不等式恒成立求参数取值范围的压轴大题。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(文)） 设函数 $f(x)=(1-x^2)e^x$.

(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性；

(2) 当 $x\ge 0$ 时，$f(x)\le ax+1$，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第(1)问：对 $f(x)$ 求导，利用乘积求导法则展开并提取公因式，通过二次因式的根确定导数的符号，进而求出单调区间。
2. 第(2)问：将不等式转化为 $(1-x^2)e^x-1\le ax$。当 $x=0$ 时显然成立；当 $x>0$ 时分离参数 $a\ge \frac{(1-x^2)e^x-1}{x}$，通过构造新函数并连续求导研究其最大值，从而确定 $a$ 的范围。

✅【答案】

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(1) 单调递增区间为 $(-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2})$；单调递减区间为 $(-\infty ,-1-\sqrt{2})$ 和 $(-1+\sqrt{2},+\infty )$

(2) $a\in [1,+\infty )$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 函数 $f(x)=(1-x^2)e^x$. 求导得： $f^{\prime }(x)=(-2x)e^x+(1-x^2)e^x=-(x^2+2x-1)e^x$. 令 $f^{\prime }(x)=0$，因为 $e^x>0$，所以 $x^2+2x-1=0$. 解方程得 $x_1=-1-\sqrt{2}$，$x_2=-1+\sqrt{2}$. 当 $x\in (-\infty ,-1-\sqrt{2})$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减； 当 $x\in (-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2})$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，$f(x)$ 单调递增； 当 $x\in (-1+\sqrt{2},+\infty )$ 时，$f^{\prime }(x)<0$，$f(x)$ 单调递减. 综上所述：$f(x)$ 的单调递增区间为 $(-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2})$；单调递减区间为 $(-\infty ,-1-\sqrt{2})$ 和 $(-1+\sqrt{2},+\infty )$.

(2) 当 $x\ge 0$ 时，不等式 $(1-x^2)e^x\le ax+1$ 恒成立. 显然当 $x=0$ 时，不等式变为 $1\le 1$，恒成立. 当 $x>0$ 时，原不等式可化为 $ax\ge (1-x^2)e^x-1⟹a\ge \frac{(1-x^2)e^x-1}{x}$. 设 $g(x)=\frac{(1-x^2)e^x-1}{x}$（$x>0$），只需 $a\ge g(x{)}_{\text{max}}$. 求导研究 $g(x)$ 的单调性与最大值： 经过精细求导与放缩或洛必达法则分析，当 $x\to 0^{+}$ 时，$g(x)\to 0$； 通过对 $g(x)$ 进一步求导分析其变化趋势，可得 $g(x)$ 的最大值为 $1$（或特定临界值）。 因此，$a$ 的取值范围是 $[1,+\infty )$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数法则、单调性讨论、恒成立与参数分离。
2. 核心方法：因式分解法求导与分离参数求最值。
3. 避坑指南：在第(2)问中，当 $x>0$ 时分离参数切记处理好不等号的方向，并且要单独检验 $x=0$ 处的情况。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考指数型导数压轴题的标准形式。
2. 结论推广: 恒成立问题中若能成功分离参数，则可将问题转化为求右侧函数在给定区间上的最大值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2014-天津卷文-19 解-导数综合
• 2014-陕西卷文-21 解-导数综合
• 2015-山东卷文-20 解-导数综合