2015-山东卷文-20 解-导数综合

本题导读

(1) 切线平行即斜率相等。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(文)） 设函数 $f(x)=(x+a)\ln x$，$g(x)=\frac{x^2}{e^x}$．已知曲线 $y=f(x)$ 在点 $(1,f(1))$ 处的切线与直线 $2x-y=0$ 平行．

(1) 求 $a$ 的值；

(2) 是否存在自然数 $k$，使得方程 $f(x)=g(x)$ 在 $(k,k+1)$ 内存在唯一的根？如果存在，求出 $k$；如果不存在，请说明理由；

(3) 设函数 $m(x)=\min \left\{f(x),g(x)\right\}$（$\min \{p,q\}$ 表示 $p$，$q$ 中的较小值），求 $m(x)$ 的最大值．

🔍【思路分析】

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(1) 切线平行即斜率相等。（Ⅱ）构造 $h=f-g$，用零点存在定理锁定 $(1,2)$，再用 $h^{\prime }>0$ 保证唯一。（Ⅲ）以零点 $x_0$ 为界比较 $f,g$ 大小，$m(x)$ 的峰值出现在 $x=2$。

✅【答案】

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(1) $a=1$

(2) $k=1$

(3) $\frac{4}{e^2}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ） $f^{\prime }(x)=\ln x+\frac{x+a}{x}=\ln x+1+\frac{a}{x}$，$f^{\prime }(1)=1+a$。

切线与 $2x-y=0$ 平行，故 $f^{\prime }(1)=2$，$a=1$。

（Ⅱ） 由（Ⅰ）$f(x)=(x+1)\ln x$。设 $h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)\ln x-\frac{x^2}{e^x}$。

$h(1)=0-\frac{1}{e}<0$，$h(2)=3\ln 2-\frac{4}{e^2}\approx 2.08-0.54>0$。

由零点存在定理，$h$ 在 $(1,2)$ 内有根。又

$h^{\prime }(x)=\ln x+1+\frac{1}{x}-\frac{x(2-x)}{e^x}$，当 $x\in (1,2)$ 时 $\ln x>0$，$1+\frac{1}{x}>\frac{3}{2}$，而 $x(2-x)⩽1$ 且 $e^x>e$，故 $\frac{x(2-x)}{e^x}<\frac{1}{e}$，

于是 $h^{\prime }(x)>\frac{3}{2}-\frac{1}{e}>0$，$h$ 在 $(1,2)$ 内单调递增，根唯一。

故存在 $k=1$，使方程 $f(x)=g(x)$ 在 $(1,2)$ 内存在唯一的根（记为 $x_0$）。

（Ⅲ） $g^{\prime }(x)=\frac{x(2-x)}{e^x}$，$g$ 在 $(0,2)$ 递增、$(2,+\infty )$ 递减，最大值 $g(2)=\frac{4}{e^2}$。

当 $0<x⩽1$ 时，$\ln x⩽0$，$f(x)⩽0<g(x)$，$m(x)=f(x)⩽0$；

当 $1<x<x_0$ 时 $f(x)<g(x)$，$m(x)=f(x)$，$f$ 递增；

当 $x⩾x_0$ 时 $f(x)⩾g(x)$，$m(x)=g(x)$，它在 $[x_0,2]$ 上递增、$[2,+\infty )$ 上递减。

所以 $m(x)$ 的最大值为 $\max \left\{f(x_0),g(2)\right\}=g(2)=\frac{4}{e^2}$（因 $f(x_0)=g(x_0)<g(2)$，$x_0<2$ 且 $g$ 在 $(0,2)$ 递增）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：导数的几何意义；零点存在定理与单调性；分段最值

核心方法：“作差构造 + 两端异号 + 导数控单调”定唯一零点；$\min$ 函数按零点分段取峰值

避坑指南：（1）第（Ⅱ）问”存在”要靠 $h(1),h(2)$ 异号，“唯一”要靠 $h^{\prime }>0$，两个论据缺一不可；（2）$h^{\prime }(x)$ 的放缩：$x(2-x)⩽1$（在 $(1,2)$ 内取不到等号）与 $e^x>e$ 联手；（3）第（Ⅲ）问最大值不是在零点 $x_0$ 处取得，而是在 $g$ 的峰 $x=2$ 处——$f(x_0)=g(x_0)<g(2)$ 必须交代。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“切线定参 + 零点 + $\min /\max$ 复合函数”三连问是导数压轴的常见骨架，第（Ⅲ）问的 $\min \{f,g\}$ 是 2015 年山东卷的标志性设计。

结论推广：若改 $M(x)=\max \{f,g\}$，则在 $(0,x_0]$ 上取 $g$、其余取 $f$，无最大值（$f\to +\infty$）——正反对照可加深对”较小值函数”的理解。

方法推广：处理 $\min /\max$ 函数的通法：先求两函数的交点把定义域分段，再逐段确定”谁小谁大”，最后在每段上求最值并比较衔接点的函数值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 20.16 零点问题

类题演练(Links)

• 2015-山东卷理-20 解-椭圆离心率
• 2016-山东卷理-20
• 2014-山东卷理-20 解-导数单调性